Question

8．如图所示，在天花板O的正下方有两点A、B，已知OA=h，AB=H，在天花板上寻找一点C，在点C与A、B之间各连接光滑细线，让两个小球分别穿在细线上，让小球同时从C点下滑，两球同时滑到A、B点，则OC的长度为多少？两球的运动时间为多长？

Answer 1

分析 在点C与A、B之间各连接光滑细线，让两个小球分别穿在细线上，让小球同时从C点下滑，相当于有两个光滑的斜面，小球从斜面上下滑，由受力分析结合牛顿第二定律求得加速度，利用运动学方程求得OC的长度和两球的运动时间．

解答 解：设OC的长度为L，AC、BC与水平面的倾角为α和β，由几何关系可得：
sin$α=\frac{h}{\sqrt{{L}^{2}{+h}^{2}}}$①
sin$β=\frac{h+H}{\sqrt{{L}^{2}{+（h+H）}^{2}}}$②
沿CA和CB方向下滑的小球的加速度分别为：
a₁=gsinα，③
a₂=gsinβ④
设运动时间为t，由运动学方程可得：$\sqrt{{L}^{2}{+h}^{2}}={\frac{1}{2}}_{\;}$a₁t²⑤
$\sqrt{{L}^{2}{+（h+H）}^{2}}=\frac{1}{2}$${{a}_{2}t}^{2}$⑥
解①～⑥可得，L=$\sqrt{\frac{{h（h+H）}^{2}{-h}^{2}（h+H）}{H}}$⑦

联立①③⑤⑦可得，t=$\sqrt{\frac{4h+2H}{g}}$
答：OC的长度为$\sqrt{\frac{{h（h+H）}^{2}{-h}^{2}（h+H）}{H}}$，两球的运动时间为$\sqrt{\frac{4h+2H}{g}}$．

点评 本题采用等效法，将细线轨道转化为斜面模型，将陌生的情景转化为熟悉的情景，利用牛顿第二定律结合运动学方程求解，有一定的运算量．