Question

16．游乐场中有一类似于过山车的设施．简易模型如图所示，它由倾角为α=37°的光滑斜面轨道、水平轨道和竖直平面内的光滑圆形轨道组成，A、B分别是斜面与圆形轨道的最低点（且A处有一极小光滑圆弧与轨道相切），A、B两点相距L=4.25m．一个质量为m=0.1kg的小球（视为质点），从斜面上距A点h=4.05m高处由静止下滑，小球与水平轨道的动摩擦因数μ=0.2．假设水平轨道足够长，不考虑斜面轨道与圆形轨道相互重叠时对小球运动的影响，sin37°=0.6，g取lOm/s²．求：
（1）若圆形轨道的半径R=l.0m，则小球到达B点时的速度大小及对轨道的压力大小：
（2）欲使小球不脱离轨道，在圆形轨道的设计中，半径应满足的条件和小球最终停留点与B点的距离．

Answer 1

分析 （1）对小球的运动过程进行分析，运用动能定理求出最高点时的速度，并利用牛顿第二定律求出轨道对小球作用力；
（2）知道小球恰能通过圆形轨道的含义，再应用动能定理研究整个过程求出两种情况下的问题，再求小球最终停留点与B点的距离．

解答 解：（1）由动能定理，有mgh-μmgL=$\frac{1}{2}$mv_B²
代入数据解得：v_B=8.0m/s
由牛顿第二定律得：F_N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
代入数据解得：F_N=7.4N
由牛顿第三定律得，小球到达B点时对轨道的压力大小${F}_{N}^{′}$=F_N=7.4N
（2）要保证小球不脱离轨道，可分两种临界情况进行讨论：
Ⅰ．轨道半径较小时，小球恰能通过圆形轨道，设在最高点的速度为v，应满足
由牛顿第二定律得：mg=m$\frac{{v}^{2}}{{R}_{1}}$
由功能关系得：$\frac{1}{2}$mv_B²=mg•R₁+$\frac{1}{2}$mv²
代入数据解得：R₁=1.28m
Ⅱ．轨道半径较大时，小球上升的最大高度为R₂，
根据机械能守恒：$\frac{1}{2}$mv_B²=mg•R₂
代入数据解得：R₂=3.2 m
综合Ⅰ、Ⅱ，要使小球不脱离轨道，则圆形轨道的半径须满足下面的条件
0＜R≤1.28 m或R≧3.2m
当0＜R≤1.28 m时，小球最终停留点与B点的距离为L'，则：-μmgL′=0-$\frac{1}{2}$mv_B²
解得：L'=16.0 m
当R≧3.2m时，小球最终停留点与B点的距离为L″，则
L″=L-（L'-3L）=1.0 m
答：（1）小球到达B点时的速度大小为8.0m/s；对轨道的压力大小为7.4N；
（2）欲使小球不脱离轨道，在圆形轨道的设计中，半径应满足的条件是0＜R≤1.28 m或R≧3.2m；小球最终停留点与B点的距离为1.0 m．

点评 选取研究过程，运用动能定理解题．动能定理的优点在于适用任何运动包括曲线运动．知道小球恰能通过圆形轨道的含义以及要使小球不能脱离轨道的含义．