Question

10．两根长均为L、间距为d的平行光滑导轨C₁C₂、D₁D₂固定在倾角为θ的绝缘斜面上，其上、下两端分别用导线连接有阻值为2R和R的电阻，在两导轨间加上一磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场（图中未画出）．一长为d、质量为m的金属棒垂直放置于导轨的上端C₁D₁．使金属棒由静止开始沿导轨下滑，棒下滑距离为$\frac{L}{2}$时恰好开始做匀速运动．金属棒、导轨和导线的电阻均不计，重力加速度大小为g．求：
（1）金属棒由静止开始下滑距离为$\frac{L}{2}$的过程中，通过金属棒某一截面的电荷量q；
（2）金属棒由静止开始下滑距离为L的过程中，回路上产生的焦耳热Q．

Answer 1

分析 （1）根据电荷量的计算公式结合闭合电路的欧姆定律求解电荷量；
（2）根据平衡条件和法拉第电磁感应定律、闭合电路的欧姆定律求解最大速度，根据功能关系求解产生的焦耳热．

解答 解：（1）金属棒下滑过程中切割磁感应线，金属棒相当于电源，两个电阻并联后的总电阻为：
R_总=$\frac{2R•R}{2R+R}$=$\frac{2}{3}R$，
根据电荷量的计算公式可得：q=$\overline{I}t$=$\frac{△Φ}{{R}_{总}}$，
其中△Φ=BScosθ=$\frac{1}{2}BLdcosθ$，
解得：q=$\frac{\frac{1}{2}BLdcosθ}{\frac{2}{3}R}$=$\frac{3BLdcosθ}{4R}$；
（2）设匀速运动的速度为v，根据平衡条件可得：mgsinθ=BIdcosθ，
根据法拉第电磁感应定律和闭合电路的欧姆定律可得：I=$\frac{Bdvcosθ}{{R}_{总}}$，
联立解得：v=$\frac{2mgRtanθ}{3{B}^{2}{d}^{2}cosθ}$；
根据功能关系可得：mgLsinθ=$\frac{1}{2}m{v}^{2}+Q$，
解得：Q=mgLsinθ-$\frac{2{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}ta{n}^{2}θ}{9{B}^{4}{d}^{4}co{s}^{2}θ}$．
答：（1）金属棒由静止开始下滑距离为$\frac{L}{2}$的过程中，通过金属棒某一截面的电荷量为$\frac{3BLdcosθ}{4R}$；
（2）金属棒由静止开始下滑距离为L的过程中，回路上产生的焦耳热为mgLsinθ-$\frac{2{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}ta{n}^{2}θ}{9{B}^{4}{d}^{4}co{s}^{2}θ}$．

点评 对于电磁感应问题研究思路常常有两条：
一条从力的角度，根据牛顿第二定律或平衡条件列出方程；
另一条是能量，分析涉及电磁感应现象中的能量转化问题，根据动能定理、功能关系等列方程求解；
注意本题计算时磁感应强度的方向是竖直向下，一定要进行分解．