Question

4．在离水面高度为h的岸边，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸边s距离处，当人以v₀的速率收绳时，试求船的速率与加速度各有多大．

Answer 1

分析 将小船的运动分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向，在沿绳子方向上的分速度等于拉绳子的速度．

解答 解：由题，船的运动分解如图：

将小船的速度v分解为沿绳子方向的v₁和垂直于绳子方向的v₂，则：v₀=v₁=vcosθ；
其中：$cosθ=\frac{s}{\sqrt{{s}^{2}+{h}^{2}}}$
则：v=$\frac{{v}_{0}}{cosθ}$=$\frac{{v}_{0}\sqrt{{s}^{2}+{h}^{2}}}{s}$
根据加速度的定义可知，小船的加速度等于其速度的导数，则：
a=$\frac{dv}{dt}$=$\frac{{v}_{0}sinθ}{co{s}^{2}θ}$=$\frac{{v}_{0}h\sqrt{{s}^{2}+{h}^{2}}}{{s}^{2}}$．
答：船的速率是$\frac{{v}_{0}\sqrt{{s}^{2}+{h}^{2}}}{s}$，加速度是$\frac{{v}_{0}h\sqrt{{s}^{2}+{h}^{2}}}{{s}^{2}}$．

点评 进行运动的合成与分解时，注意物体的实际运动是合运动，按照平行四边形进行分解即可．该题的难点在求速度的导数．