Question

13．如图所示，在xOy平面的第一象限有一匀强电场，电场的方向平行于y轴向下；在x轴和第四象限的射线OC之间有一匀强磁场，磁感应强度的大小为B，方向垂直于纸面向外．有一质量为m，带有电荷量+q的质点由电场左侧平行于x轴射入电场．质点到达x轴上A点时，速度方向与x轴的夹角为φ，A点与原点O的距离为d．接着，质点进入磁场，并垂直于OC飞离磁场．不计重力影响．若OC与x轴的夹角为φ，求
（1）试画出粒子在磁场中运动的轨迹，并求出粒子在磁场中运动的速度大小；
（2）匀强电场的场强大小；
（3）粒子刚水平进入电场时距离原点O的距离．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，结合几何关系由洛仑兹力充当向心力可求得粒子在磁场中的速度；
（2）粒子在电场中做的是类平抛运动，对水平方向的匀速和竖直方向的匀加速分中别进行分析，根据牛顿第二定律及运动学公式可求得电场强度；
（3）根据运动学公式，结合加速度，即可求解．

解答 解：（1）画出粒子在磁场中运动的轨迹如图所示．   

由几何关系得：R=dsinφ   ①
由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得：qvB=$\frac{m{v}^{2}}{R}$  ②
解得：v=$\frac{Bqdsinφ}{m}$         ③
（2）质点在电场中作类平抛运动．设质点射入电场的速度为v₀，在电场中的加速度为a，运动时间为t，
则有：v₀=vcosφ  ④
vsinφ=at   ⑤
d=v₀t   ⑥
解得：a=$\frac{{v}^{2}sinφcosφ}{d}$
设电场强度的大小为E，由牛顿第二定律得：
qE=ma      ⑦
③～⑦式联立，解得：E=$\frac{qd{B}^{2}si{n}^{3}φcosφ}{m}$  
（3）设粒子入射点位于y轴正方向的D点，距离原点O为L，
粒子在竖直方向做匀加速直线运动：L=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$ ⑧
⑥～⑧式联立，解得：L=$\frac{dsinφ}{2cosφ}$=$\frac{d}{2}tanφ$
答：（1）粒子在磁场中运动的轨迹如上图所示，粒子在磁场中运动的速度大小$\frac{Bqdsinφ}{m}$；
（2）匀强电场的场强大小$\frac{qd{B}^{2}si{n}^{3}φcosφ}{m}$；
（3）粒子刚水平进入电场时距离原点O的距离$\frac{d}{2}tanφ$．

点评 本题为电荷在电场和磁场中运动的题目，在电场中的运动一般以平抛为主，而在圆周运动中主要考查匀速圆周运动，应注意找出圆心和半径；同时要注意题目中哪些为已知量哪些为未知量．