Question

【题目】如图所示，以A、B和C、D为端点的两半圆形光滑轨道固定于竖直平面内，一滑板静止在光滑的地面上，左端紧靠B点，上表面所在平面与两半圆分别相切于B、C，一物块被轻放在水平匀速运动的传送带上E点，运动到A时刚好与传送带速度相同，然后经A沿半圆轨道滑下，再经B滑上滑板。滑板运动到C时被牢固粘连。物块可视为质点，质量为m，滑板质量为M=2m，两半圆半径均为R，板长l=6.5R,板右端到C的距离L在R<L<5R范围内取值，E距A为S=5R,物块与传送带、物块与滑板间的动摩擦因数均为μ=0.5，重力加速度取g。

（1）求物块滑到B点的速度大小；

（2）试讨论物块从滑上滑板到离开右端的过程中，克服摩擦力做的功Wf与L的关系，并判断物块能否滑到CD轨道的中点。

Answer 1

【答案】（1） （2）见解析；

【解析】（1）设物块运动到A和B点的速度分别为v1、v2，
由动能定理得μmgS＝mv12…①
由机械能守恒定律m v22＝2mgR+m v12…②
联立①②，得v2＝3 …③
（2）设滑板与物块达到共同速度v3时，位移分别为l1、l2，
由动量守恒定律mv2=（m+M）v3…④
由动能定理μmgl1＝M v32…⑤
μmgl2＝m v32m v22…⑥
联立③④⑤⑥，得l1=2R　　　l2=8R…⑦
物块相对滑板的位移△l=l2-l1 △l＜l
即物块与滑板在达到相同共同速度时，物块未离开滑板…⑧
物块滑到滑板右端时
若R＜L＜2R，Wf=μmg（l+L）…⑨
Wf＝mg(13R+2L)…⑩
若2R≤L＜5R，Wf=μmg（l+l1）…（11）
Wf＝mgR…（12）
设物块滑到C点的动能为Ek，
由动能定理Wf＝Ekmv22…（13）
L最小时，克服摩擦力做功最小，因为L＞R，
由③⑩（13）确定Ek小于mgR，则物块不能滑到CD轨道中点．