Question

13．神舟十号在发射过程中共经历多个重要的发射节点，进入了运行轨道，已知地球半径R、地球表面重力加速度为g，质量为m的神舟十号飞船在地球上空的万有引力势能表达式为E_P=-$\frac{mg{R}^{2}}{r}$（以无穷远处万有引力势能为O），r表示飞船到地心的距离，请回答下列问题：
（1）飞船在距离地面高度H的轨道上做匀速圆周运动时的机械能；
（2）若要使飞船从距离地面高度H做匀速圆周运动的轨道再上升高度h绕地球仍做匀速圆周运动，飞船发动机至少要做多少功？

Answer 1

分析 （1）飞船在距离地面高度H的轨道上做匀速圆周运动时，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解速度，得到动能；
（2）根据功能关系，飞船发动机做功等于增加的机械能．

解答 解：（1）飞船在距离地面高度H的轨道上做匀速圆周运动，重力势能为：
E_P=-$\frac{mg{R}^{2}}{r}$=-$\frac{mg{R}^{2}}{R+H}$
万有引力提供向心力，故：
G$\frac{Mm}{{（R+H）}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R+H}$
在地面，重力等于万有引力，故：
mg=$\frac{GMm}{{R}^{2}}$
动能：${E}_{k}=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
故机械能：
E=E_p+E_k=-$\frac{mg{R}^{2}}{2（R+H）}$
（2）若要使飞船从距离地面高度H做匀速圆周运动的轨道再上升高度h绕地球仍做匀速圆周运动，机械能变为：
E′=-$\frac{mg{R}^{2}}{2（R+H+h）}$
根据功能关系，飞船做功等于机械能的增加量，为：
W=E′-E=$\frac{mg{R}^{2}}{2（R+H）}$-$\frac{mg{R}^{2}}{2（R+H+h）}$
答：（1）飞船在距离地面高度H的轨道上做匀速圆周运动时的机械能为-$\frac{mg{R}^{2}}{2（R+H）}$；
（2）若要使飞船从距离地面高度H做匀速圆周运动的轨道再上升高度h绕地球仍做匀速圆周运动，飞船发动机至少要做$\frac{mg{R}^{2}}{2（R+H）}$-$\frac{mg{R}^{2}}{2（R+H+h）}$的功．

点评 本题关键是明确飞船的动力学原理，根据牛顿第二定律列式求解出动能和机械能的表达式进行分析，基础题目．