Question

13．静电场方向平行于x轴，其电势φ随x的分布如图所示，图中φ₀和d为已知量．一个带负电的粒子在电场中以x=0为中心，沿x轴方向做周期性运动．已知该粒子质量为m、电量为-q，其动能与电势能之和为-A（0＜A＜qφ₀）．忽略重力．求：
（1）粒子所受电场力的大小；
（2）粒子的运动区间；
（3）粒子从左侧最远点运动到中心点O处的时间．

Answer 1

分析 （1）由图可知，当电势随x均匀变化时，电场为匀强电场，由电势差与电场强度的关系可求得电场强度，即可求得电场力；
（2）由题意可知，动能与电势能之和保持不变，设出运动区间为[-x，x]，由题意可知x处的电势，则由数学关系可求得x值；
（3）粒子在区间内做周期性变化，且从最远点到O点时做匀变速直线运动，则由运动学规律可求得时间．

解答 解：（1）由图可知，0与d（或-d）两点间的电势差为φ₀
电场强度的大小：E=$\frac{{φ}_{0}}{d}$
电场力的大小：F=qE=$\frac{q{φ}_{0}}{d}$
（2）设粒子在[-x，x]区间内运动，速率为v，由题意得：
 $\frac{1}{2}m{v^2}-qϕ=-A$…①
由图可知：$ϕ={ϕ_0}（1-\frac{|x|}{d}）$…②
由①②得：$\frac{1}{2}m{v^2}=q{ϕ_0}（1-\frac{|x|}{d}）-A$…③
因动能非负，有：$q{ϕ_0}（1-\frac{|x|}{d}）-A≥0$
得：$|x|≤d（1-\frac{A}{{q{ϕ_0}}}）$
即：${x_0}=d（1-\frac{A}{{q{ϕ_0}}}）$
粒子运动区间：-d（1-$\frac{A}{qφ0}$）≤x≤d（1-$\frac{A}{qφ0}$）
（3）考虑粒子从-x₀处开始运动的四分之一周期
根据牛顿第二定律，粒子的加速度：$a=\frac{F}{m}=\frac{Eq}{m}=\frac{{q{φ_0}}}{md}$
由匀加速直线运动：$t=\sqrt{\frac{{2{x_0}}}{a}}$
将④⑤代入，得：$t=\sqrt{\frac{{2m{d^2}}}{{q{φ_0}}}（1-\frac{A}{{q{φ_0}}}）}$
粒子从左侧最远端运动到O点所用时间：
t_n=（2n+1）t=（2n+1）$\sqrt{\frac{2m{d}^{2}}{q{φ}_{0}}（1-\frac{A}{q{φ}_{0}}）}$，（n=0，1，2，3，…）
答：
（1）粒子所受电场力的大小是$\frac{q{φ}_{0}}{d}$；
（2）粒子的运动区间是：-d（1-$\frac{A}{qφ0}$）≤x≤d（1-$\frac{A}{qφ0}$）；
（3）粒子从左侧最远点运动到中心点O处的时间是（2n+1）$\sqrt{\frac{2m{d}^{2}}{q{φ}_{0}}（1-\frac{A}{q{φ}_{0}}）}$，（n=0，1，2，3，…）．

点评 本题要明确图象的斜率表示电场强度，能从图象中判断出电场的性质，并能灵活应用功能关系结合数学知识和周期性研究．