Question

17．在边长为2a的正△ABC内存在垂直纸面向里的磁感强度为B的匀强磁场，有一带正电q，质量为m的粒子从距A点$\sqrt{3}$a的D点垂直AB方向进入磁场，如图所示，求：
（1）粒子速率应满足什么条件，粒子能从AB间射出；
（2）粒子速率应满足什么条件，粒子能从AC间射出．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，当其轨迹恰好与AC边相切时，轨迹对应的圆心角最大，此时刚好不从AC边射出（即从AB边射出），由几何知识求出轨道半径，再牛顿第二定律求出最大速度即可；
（2）设粒子速率为v₂时，其圆轨迹正好与BC边相切于F点（不从BC边射出），与AC相交于G点，根据几何关系求出半径，再根据牛顿第二定律列式求解即可．

解答 解：（1）设粒子速率为v₁时，其圆轨迹正好与AC边相切于E点，
在△AO₁E中，O₁E=R₁，${O}_{1}A=\sqrt{3}a-{R}_{1}$，
由几何关系得：cos30$°=\frac{{O}_{1}E}{{O}_{1}A}$
解得：${R}_{1}=3（2-\sqrt{3}）a$
由Bqv${\;}_{1}=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{{R}_{1}}$得：${v}_{1}=\frac{3（2-\sqrt{3}）aqB}{m}$
则要粒子能从AB间离开磁场，其速度满足$0＜{v}_{\;}＜\frac{3（2-\sqrt{3}）aqB}{m}$，
（2）设粒子速率为v₂时，其圆轨迹正好与BC边相切于F点，与AC相交于G点，
分析知A点即为粒子轨迹的圆心．
则${R}_{2}=AD=AG=\sqrt{3}a$
又由$Bq{v}_{2}=m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{{R}_{2}}$得${v}_{2}=\frac{\sqrt{3}aqB}{m}$
则要粒子能从AC间射出磁场，
其速度v满足的条件为$\frac{3（2-\sqrt{3}）aqB}{m}＜v＜\frac{\sqrt{3}aqB}{m}$．
答：（1）粒子速率应满足$0＜{v}_{\;}＜\frac{3（2-\sqrt{3}）aqB}{m}$，粒子能从AB间射出；
（2）粒子速率应满足$\frac{3（2-\sqrt{3}）aqB}{m}＜v＜\frac{\sqrt{3}aqB}{m}$，粒子能从AC间射出．

点评 带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动解题一般程序是
1、画轨迹：确定圆心，几何方法求半径并画出轨迹．
2、找联系：轨迹半径与磁感应强度、速度联系；偏转角度与运动时间相联系，时间与周期联系．
3、用规律：牛顿第二定律和圆周运动的规律．