Question

一飞船在某星球表面附近，受星球引力作用而绕其做匀速圆周运动的速率为v₁；飞船在离该星球表面高度为h处，受星球引力作用而绕其做匀速圆周运动的速率为v₂．已知万有引力恒量为G．试求
（1）该星球的质量
（2）若设该星球的质量为M，一个质量为m的物体在离该星球球心r远处具有的引力势能为E_Pr=-

GMm

r

，则一颗质量为m₁的卫星由r₁轨道变为r₂（r₁＜r₂）轨道，对卫星至少做多少功？（卫星在r₁、r₂轨道上均做匀速圆周运动，结果请用M、m₁、r₁、r₂、G表示）

Answer 1

分析：（1）由两个轨道上的运动速度，可以列两次万有引力充当向心力的表达式，联立可以解得星球质量
（2）已知卫星引力势能的表达式，又由圆周运动可得动能表达式，两者相加为该轨道上的机械能，则两个轨道机械能之差就是需要对卫星做的功

解答：解：
（1）由万有引力提供向心力的速度表达式：

GMm

r2

=m

v2

r

，
可知在星球表面时：

GMm

R2

=m

v12

R

，
在高空h处：

GMm

(R+h)2

=m

v22

R+h

，
联立解得：M=

hv12v22

G(v12-v22)

（2）由

GMm

r2

=m

v2

r

得轨道半径为r时的动能为：Ek=

GMm

2r

，
又引力势能为：E_P=-

GMm

r

，
卫星在该轨道上的机械能为：E=Ek+Ep=-

GMm

2r

，
则变轨需要对卫星做的功为卫星机械能的增加量，
即：W=E2-E1=E=-

GMm

2r2

+

GMm

2r1

=

1

2

GMm

r2-r1

r1r2

答：（1）星球的质量为：M=

hv12v22

G(v12-v22)

（2）变轨需要对卫星做的功为：W=

1

2

GMm

r2-r1

r1r2

点评：本题重点是要利用好给定的引力势能，知道变轨做的功应等于卫星在两个轨道上的机械能的差值．