Question

10．如图所示，两条金属导轨相距L=1m，水平部分处在竖直向下的匀强磁场B₁中，其中MN段平行于PQ段，位于同一水平面内，NN₀段与QQ₀段平行，位于与水平面成倾角37°的斜面内，且MNN₀与PQQ₀均在竖直平面内．在水平导轨区域和倾斜导轨区域内分别有垂直于水平面和斜面的匀强磁场B₁和B₂，且B₁=B₂=0.5T；ab和cd是质量均为m=0.2kg、电阻分别为R_ab=0.5Ω和R_cd=1.5Ω的两根金属棒，ab置于水平导轨上，与水平导轨间的动摩擦因数μ=0.5，cd置于光滑的倾斜导轨上，均与导轨垂直且接触良好．从t=0时刻起，ab棒在水平外力F₁作用下由静止开始以a=2m/s²的加速度向右做匀加速直线运动，cd棒在平行于斜面方向的力F₂的作用下保持静止状态．不计导轨的电阻．水平导轨足够长，ab棒始终在水平导轨上运动，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s²．求：

（1）t=5s时，cd棒消耗的电功率；
（2）从t=0时刻起，2.0s内通过ab棒的电荷量q；
（3）规定图示F₁、F₂方向作为力的正方向，分别求出F₁、F₂随时间t变化的函数关系；
（4）若改变F₁和F₂的作用规律，使ab棒的运动速度v与位移x满足v=0.4x，cd棒仍然静止在倾斜轨道上，求ab棒从静止开始到x=5m的过程中，F₁所做的功．

Answer 1

分析 （1）ab棒向右运动切割磁感线产生感应电动势，相当于电源，cd相当于外电路．要求cd消耗的功率，要先ab产生的感应电动势，由欧姆定律求出电路中电流，即可求得功率．
（2）先由运动学位移公式求出t=2.0s时间内棒ab通过的位移，从而确定出穿过回路MNQP磁通量的变化量△Φ，由法拉第电磁感应定律、欧姆定律和电流的定义式推导出电量表达式q=$\frac{△Φ}{R+r}$，即可求解通过ab棒的电荷量q．
（3）先根据法拉第电磁感应定律和欧姆定律得出电路中电流与时间的关系式，求F₁可对ab棒运用牛顿第二定律，求F₂可对cd棒根据平衡条件求解．
（4）由题v=0.4x，速度v与位移x成正比，可知电流I、安培力也与位移x成正比，可安培力的平均值求解安培力做的功，再对ab棒运用动能定理求解F₁所做的功．

解答 解：（1）金属棒ab在5s时的速度  ν_t=at=2×5m/s=10m/s
感应电动势　E=BLν_t=0.5×1×10V=5V
此时感应电流 I=$\frac{E}{{R}_{ab}+{R}_{cd}}$=$\frac{5}{0.5+1.5}$A=2.5A
t=5s时，cd棒消耗的电功率 P_cd=I²R_cd=2.5²×1.5W≈9.38W
（2）在0～2.0s时间内金属棒ab运动的位移
  x=$\frac{1}{2}$at²=$\frac{1}{2}$×2×2²m=4m
在0～2.0s时间内穿过闭合回路磁通量的变化量为
△φ=B₁Lx=0.5×1×4Wb=2Wb
0～2.0s时间内通过ab棒的电荷量为
  q=$\overline{I}$△t=$\frac{\overline{E}}{{R}_{ab}+{R}_{cd}}$△t=$\frac{△Φ}{{R}_{ab}+{R}_{cd}}$=$\frac{2}{0.5+1.5}$C=1C
（3）金属棒ab在做匀加速直线运动的过程中，电流和时间的关系为
  I=$\frac{BLv}{{R}_{ab}+{R}_{cd}}$=$\frac{BLat}{{R}_{ab}+{R}_{cd}}$=$\frac{0.5×1×2t}{2}$=0.5t （A）
对金属棒ab由牛顿第二定律有：F₁-B₁IL-μmg=ma
得：F₁=1.4+0.25t（N
对金属棒cd由平衡条件有：F₂+B₂IL-mgsin37°=0
得：F₂=1.2-0.25t（N）
（4）ab棒做变加速直线运动，当x=5m时，
  ν_t=0.4×5=2（m/s）
因为速度与位移成正比，所以电流、安培力也与位移成正比，则
安培力表达式  F_安=B₁IL=$\frac{{B}_{1}^{2}{L}^{2}v}{{R}_{AB}+{R}_{cd}}$=$\frac{0．{5}^{2}×{1}^{2}×0.4x}{2}$=0.05x（N）
ab棒从静止开始到x=5m的过程中安培力的平均值 $\overline{{F}_{安}}$=$\frac{0+0.05×5}{2}$=0.125（N）
所以，安培力做功为 W_安=-$\overline{{F}_{安}}$x=-0.125×5=-0.625（J）
根据动能定理，得
  W_F1+W_安-μmgx=$\frac{1}{2}$m${v}_{t}^{2}$-0
所以，W_F1=$\frac{1}{2}$m${v}_{t}^{2}$-W_安+μmgx=6.025J
答：（1）t=5s时，cd棒消耗的电功率为9.38W；
（2）t=0～2.0s时间内通过cd棒的电荷量为1C；
（3）F₁随时间t变化的函数关系为F₁=（1.4+0.25t）N，F₂随时间t变化的函数关系为F₂=（1.2-0.25t）N；
（4）MN棒从静止开始到x=5m的过程中，F₁所做的功为6.025J．

点评 本题是双杆类型，分别研究它们的情况是基础，运用力学和电路、电磁感应的规律研究MN棒，其中对于感应电荷量，要熟悉一般表达式q=$\frac{△Φ}{R+r}$，知道△Φ与棒的位移有关．对于功，动能定理是常用的求解方法，本题要抓住安培力与位移是线性关系，安培力的平均值等于初末时刻的平均值．