Question

如图所示，质量M=2kg的滑块套在光滑的水平轨道上，质量m=1kg的小球通过长L=0.5m的轻质细杆与滑块上的光滑轴O连接，小球和轻杆可在竖直平面内绕O轴自由转动，开始轻杆处于水平状态，现给小球一个竖直向上的初速度v₀=4m/s，g取10m/s²．

（1）若锁定滑块，试求小球通过最高点P时对轻杆的作用力大小和方向．

（2）若解除对滑块的锁定，试求小球通过最高点时的速度大小．

（3）在满足 （2）的条件下，试求小球击中滑块右侧轨道位置点与小球起始位置点间的距离．

Answer 1

考点：  机械能守恒定律；牛顿第三定律；向心力；动量守恒定律．

专题：  压轴题．

分析：  （1）小球上升到最高点的过程中，符合机械能守恒定律，先解决最高点小球的速度，再由向心力公式求得细杆对小球的作用力，根据牛顿第三定律知道球对杆的作用力．

（2）解除对滑块的锁定，小球在上升过程中，因系统在水平方向上不受外力作用，所以水平方向的动量守恒；另外在上升过程中，因只有重力做功，系统的机械能守恒．联立动量守恒和机械能守恒方程求解．

（3）系统水平方向的动量守恒，两个物体速度时刻满足与质量成反比的关系，在相同的时间内位移也应该满足这个比例关系，而两个物体之间的距离和为定值，故距离可求．本题也可以采用质心原理求得．

解答：  解：（1）设小球能通过最高点，且此时的速度为v₁．在上升过程中，因只有重力做功，小球的机械能守恒．则 …①

…②

设小球到达最高点时，轻杆对小球的作用力为F，方向向下，

则 …③

由②③式，得 F=2N…④

由牛顿第三定律可知，小球对轻杆的作用力大小为2N，方向竖直向上．

（2）解除锁定后，设小球通过最高点时的速度为v₂，此时滑块的速度为V．

在上升过程中，因系统在水平方向上不受外力作用，水平方向的动量守恒．

以水平向右的方向为正方向，有 mv₂﹣MV=0…⑤

在上升过程中，因只有重力做功，系统的机械能守恒，

则 …⑥

由⑤⑥式，得 v₂=2m/s

（3）设小球击中滑块右侧轨道的位置点与小球起始点的距离为s₁，滑块向左移动的距离为s₂，

任意时刻小球的水平速度大小为v₃，滑块的速度大小为V′．

由系统水平方向的动量守恒，得 mv₃﹣MV'=0…⑦

将⑦式两边同乘以△t，得 mv₃△t﹣MV'△t=0…⑧

因⑧式对任意时刻附近的微小间隔△t 都成立，累积相加后，有

ms₁﹣Ms₂=0…⑨

又 s₁+s₂=2L…⑩

由⑨⑩式得

答：（1）小球通过最高点P时对轻杆的作用力大小为2N，方向竖直向上．

（2）小球通过最高点时的速度v₂=2m/s．

（3）小球击中滑块右侧轨道位置点与小球起始位置点间的距离

点评：  本题考查了连接体问题中的动量守恒和机械能守恒，滑块锁定和不锁定的区别非常重要：滑块锁定小球机械能守恒，滑块解锁系统机械能守恒两个物体水平方向上动量守恒；这是一道比较困难的力学综合题．可以作为高考的压轴题出现．