Question

12．如图，A为太阳系中的天王星，它可视为绕太阳O做轨道半径为R₀，周期为T₀的匀速圆周运动，天文学家长期观测发现，天王星实际运动的轨道与圆轨道总有一些偏离，且每隔t₀时间发生一次最大偏离，形成这种现象的原因可能是天王星外侧还存在一颗未知的行星B，假设行星B与A在同一平面内，且与A的绕行方向相同，它对天王星的万有引力引起天王星轨道的偏离，由此可知推测未知行星的运动轨道半径是（　　）

• A． R₀$\frac{{t}_{0}}{{t}_{0}-T}$
• B． R₀$\sqrt{（\frac{{t}_{0}}{{t}_{0}-{T}_{0}}）^{3}}$
• C． R₀$\root{3}{（\frac{{t}_{0}-{T}_{0}}{{t}_{0}}）^{2}}$
• D． R₀$\root{3}{（\frac{{t}_{0}}{{t}_{0}-T}）^{2}}$

Answer 1

分析 A行星实际运动的轨道与圆轨道总有一些偏离，且周期每隔t₀时间发生一次最大偏离，知每隔t₀时间A、B两行星相距最近，可以求出B的周期，再根据万有引力提供向心力，得出轨道半径．

解答 解：周期每隔t₀时间发生一次最大偏离，知每隔t₀时间A、B两行星相距最近，即每隔t₀时间A行星比B行星多运行一圈．有：$\frac{2π}{{T}_{0}}{t}_{0}-\frac{2π}{{T}_{B}}{t}_{0}=2π$，
则${T}_{B}=\frac{{t}_{0}{T}_{0}}{{t}_{0}-{T}_{0}}$，
根据$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得，r=$\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$，
所以$\frac{{r}_{B}}{{R}_{0}}=\root{3}{\frac{{{T}_{B}}^{2}}{{{T}_{0}}^{2}}}$，
解得r_B=${R}_{0}\root{3}{（\frac{{t}_{0}}{{t}_{0}-{T}_{0}}）^{2}}$，故D正确，A、B、C错误．
故选：D．

点评 解决本题的关键知道每隔t₀时间发生一次最大偏离，知每隔t₀时间A、B两行星相距最近，而得出每隔t₀时间A行星比B行星多运行一圈．以及会利用万有引力提供向心力．