Question

2．国庆长假期间，某人驾车经过高速公路的一个出口路段，让轿车从出口A进入匝道，先匀减速直线通过下坡路段至B点，再匀速率通过水平圆弧路段至C点，最后从C点沿平直路段匀减速到收费口D点停下．假设轿车通过B点前后速率不变，如图所示，已知轿车在出口A处的速度v₀=54km/h，AB长L₁=200m，匝道路面倾角θ=37°，桥车在匝道上受到路面和空气阻力为车重的0.4倍．BC为四分之一水平圆弧段，限速v₁=36km/h轮胎与BC段路面间的动摩擦数μ=0.2，假定转弯时经向最大静摩檫力满足F=μF_N重力加速度g取10m/s²．求：
（1）若轿车到达B点速度刚好为v₂=5m/s，轿车在AB下坡段发动机提供的刹车阻力为车重的多少倍？
（2）为保证行车安全，车轮不打滑，水平圆弧段BC半径R的最小值．

Answer 1

分析 （1）应用匀变速直线运动的速度位移公式求出加速度，然后应用牛顿第二定律求出阻力．
（2）应用牛顿第二定律可以求出轨道半径．

解答 解：由题意可知：v₀=54km/h=15m/s；
（1）由匀变速直线运动的速度位移公式得，
加速度：a=$\frac{{v}_{0}^{2}-{v}_{2}^{2}}{2{L}_{\;}}$=$\frac{1{5}^{2}-{5}^{2}}{2×200}$=0.5m/s²，
由牛顿第二定律得：mgsinθ-f=ma，
解得：$\frac{f}{mg}$=$\frac{mgsin37°-ma}{mg}$=sin37°-$\frac{a}{g}$=0.6-$\frac{0.5}{10}$=0.55倍；
（2）在BC路面上静摩擦力提供向心力，
由牛顿第二定律得：μmg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$，
由题意可知：v₁=36km/h=10m/s，
解得：R=$\frac{{v}_{1}^{2}}{μg}$=$\frac{1{0}^{2}}{0.2×10}$=50m；
答：（1）若轿车到达B点速度刚好为v₂=5m/s，轿车在AB下坡段发动机提供的刹车阻力为车重的0.55倍．
（2）为保证行车安全，车轮不打滑，水平圆弧段BC半径R的最小值为50m．

点评 本题考查了牛顿第二定律的应用，分析清楚汽车运动过程是解题的前提，应用牛顿第二定律与运动学公式可以解题，解题时注意单位换算．