Question

13．如图1所示，在同一竖直平面内的两正对着的半径为R的相同半圆光滑轨道，相隔一定的距离x，虚线沿竖直方向，一质量为m的小球能在其间运动，今在最高点A与最低点B各放一个压力传感器，测量小球对轨道的压力，g取10m/s²，不计空气阻力，求：
（1）当小球在B点对轨道的压力为F_N1，则小球在A点时轨道对小球的压力F_N2为多少？（用F_N1、x、m、g、R表示）
（2）某同学用这装置做实验，改变距离x，测得B、A两点轨道的压力差与距离x的图象如图2，则①他用的小球质量为多少？
②若小球在最低点B的速度为20m/s，为使小球能沿轨道运动，x的最大值为多少？

Answer 1

分析 （1）对AB过程分析，根据机械能守恒可明确两点处的速度关系，再根据向心力公式即可得出压力F_N2的大小；
（2）由（1）得出的F_N2与F_N1的关系进行分析，结合图象明确图象中斜率和截距的意义即可求得小球的质量；再根据临界条件进行分析，则可求得x的最大值．

解答 解：（1）设轨道半径为R，由机械能守恒定律：
$\frac{1}{2}$mv_B²=mg（2R+x）+$\frac{1}{2}$mv_A²
对B点：F_N1-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$　
对A点：
F_N2+mg=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$
联解得：小球在A点时轨道对小球的压力为F_N2=F_N1-$\frac{2mgx}{R}$-6mg
（2）、①由（1）得B、A两点压力差△F_N=F_N1-F_N2=$\frac{2mgx}{R}+6mg$　 
由图象得：截距6mg=3
得m=0.05kg
②因为图线的斜率k=$\frac{2mg}{R}$=1
解得：R=1m
在A点不脱离的条件为：
mg≤$\frac{m{v}^{2}}{R}$
解得v_A$≥\sqrt{gR}$
联立解得：x≤17.5m
答：（1）当小球在B点对轨道的压力为F_N1，则小球在A点时轨道对小球的压力F_N2为F_N1-$\frac{2mgx}{R}$-6mg；
（2）①他用的小球质量为0.05kg；
②若小球在最低点B的速度为20m/s，为使小球能沿轨道运动，x的最大值为17.5m．

点评 本题考查机械能守恒定律以及向心力公式的应用，解题的关键在于正确受力分析，明确物理过程，并注意临界条件的确定，再根据图象的性质进行分析求解即可．