Question

16．如图所示，A、B两物体的质量分别是m₁和m₂，其接触面光滑，与水平面的夹角为θ，若A、B与水平地面的动摩擦系数都是μ，用水平力F推A，使A、B一起加速运动，求：
（1）A、B间的相互作用力
（2）为维持A、B间不发生相对滑动，力F的取值范围．
（3）当A、B与水平地面间光滑时，且又m₁=m₂=m时，则F的取值范围是多少？

Answer 1

分析 （1）对A、B系统根据牛顿第二定律求加速度；隔离B，根据牛顿第二定律求出A、B间的相互作用力；
（2）（3）分别以m₁和（m₁+m₂）组成的整体为研究的对象，对它们进行受力分析，结合牛顿第二定律列出方程，即可求解．

解答 解：（1）对A、B组成的整体，根据牛顿第二定律，有
F-μ（m₁+m₂）g=（m₁+m₂）a
解得：$a=\frac{F}{{m}_{1}+{m}_{2}}$-μg
隔离B，对B受力分析如图，
根据牛顿第二定律，有
Nsinθ-μm₂g=m₂a
解得：N=$\frac{{m}_{2}F}{（{m}_{1}+{m}_{2}）sinθ}$
（2）若要二者一起做加速运动，则推力要大于摩擦力，即：F＞μ（m₁+m₂）g
当m₁恰好要相对于m₂发生运动时，F达到最大值．此时m₁在竖直方向上不再受到地面的支持力，它只受到重力、推力和m₂的弹力，设对m₁的弹力大小为N，
则竖直方向：m₁g=Ncosθ
水平方向：F-Nsinθ=m₁a
以（m₁+m₂）组成的整体为研究的对象，它们 在竖直方向：N′=（m₂+m₁）g
水平方向：F-μN′=（m₂+m₁）a
联立以上方程得：F=μ（m₁+m₂）g+$\frac{（{m}_{1}+{m}_{2}）}{{m}_{1}}（F-{m}_{1}gtanθ）$
所以，为了维持长方形两部分不发生相对运动则F的允许取值范围是：μ（m₁+m₂）g＜F≤μ（m₁+m₂）g+$\frac{（{m}_{1}+{m}_{2}）}{{m}_{1}}（F-{m}_{1}gtanθ）$
（3）当A、B与水平地面间光滑时，且又m₁=m₂=m时
若要二者一起做加速运动，则推力要大于摩擦力，即：F＞0
当m₁恰好要相对于m₂发生运动时，F达到最大值．此时m₁在竖直方向上不再受到地面的支持力，它只受到重力、推力和m₂的弹力，设对m₁的弹力大小为N，
则竖直方向：m₁g=Ncosθ
水平方向：F-Nsinθ=m₁a
以（m₁+m₂）组成的整体为研究的对象，它们 在竖直方向：N′=（m₂+m₁）g
水平方向：F-=（m₂+m₁）a
联立以上方程得：F=$\frac{（{m}_{1}+{m}_{2}）}{{m}_{1}}（F-{m}_{1}gtanθ）$
所以，为了维持长方形两部分不发生相对运动则F的允许取值范围是：0＜F≤$\frac{（{m}_{1}+{m}_{2}）}{{m}_{1}}（F-{m}_{1}gtanθ）$
答：（1）A、B间的相互作用力为$\frac{{m}_{2}F}{（{m}_{1}+{m}_{2}）sinθ}$
（2）为维持A、B间不发生相对滑动，力F的取值范围为μ（m₁+m₂）g＜F≤μ（m₁+m₂）g+$\frac{（{m}_{1}+{m}_{2}）}{{m}_{1}}（F-{m}_{1}gtanθ）$．
（3）当A、B与水平地面间光滑时，且又m₁=m₂=m时，则F的取值范围是0＜F≤$\frac{（{m}_{1}+{m}_{2}）}{{m}_{1}}（F-{m}_{1}gtanθ）$

点评 该题考查牛顿第二定律应用中的临界问题，一定要找到题目的题眼，该题中为：当F达到最大值时，m恰好要相对于M发生运动时，此时m在竖直方向上不再受到地面的支持力．