Question

3．如图所示，理想气体封闭在两连通的导热容器中，左侧活塞面积为S₁=S，质量为m₁=5m，右侧活塞的面积未知，质量为m₂=3m，在T₁=400K的初始状态下，细绳对活塞的拉力是F=mg，且两活塞正好都在距底部高为h的位置静止．两容器底部连通部分体积可以忽略，大气压强P₀=$\frac{4mg}{S}$，重力加速度为g，现将气体温度缓慢降低到T₂=300K并达到稳定状态，求：
①在温度T₁时，气体的压强；
②在温度T₂时，右侧活塞距离底部的高度．

Answer 1

分析 ①对左侧活塞进行受力分析，根据受力平衡求解初始时封闭气体的压强；
②根据右侧活塞的受力平衡求出右侧活塞的横截面积，温度降到${T}_{2}^{\;}$时，对左右活塞受力分析根据平衡求出气体的压强，状态变化过程是等压变化过程，根据等圧変化的规律求出右侧活塞距气缸底部的高度；

解答 解：①初始时候左侧活塞稳定，故$p{S}_{1}^{\;}+F={m}_{1}^{\;}g+{p}_{0}^{\;}{S}_{1}^{\;}$
得此时气体压强$p=\frac{{m}_{1}^{\;}g+{p}_{0}^{\;}{S}_{1}^{\;}-F}{{S}_{1}^{\;}}$
即$p=\frac{4mg}{S}+{p}_{0}^{\;}=\frac{8mg}{S}$
②右侧活塞稳定，同样有$p{S}_{2}^{\;}+F={m}_{2}^{\;}g+{p}_{0}^{\;}{S}_{2}^{\;}$
解得右活塞的面积为${S}_{2}^{\;}=\frac{{m}_{2}^{\;}g-F}{{m}_{1}^{\;}g-F}{S}_{1}^{\;}=\frac{1}{2}S$
将气体温度缓慢降低直至两容器处于稳定状态，则有
${p}_{2}^{\;}{S}_{1}^{\;}+F′={m}_{1}^{\;}g+{p}_{0}^{\;}{S}_{1}^{\;}$
${p}_{2}^{\;}{S}_{2}^{\;}+F′={m}_{2}^{\;}g+{p}_{0}^{\;}{S}_{2}^{\;}$
代入数据解得${p}_{2}^{\;}=\frac{8mg}{S}$
故${p}_{2}^{\;}=p$，即这个变化过程为等压变化过程
则有$\frac{h（{S}_{1}^{\;}+{S}_{2}^{\;}）}{{T}_{1}^{\;}}=\frac{（h-△h）{S}_{1}^{\;}+（h+△h）{S}_{2}^{\;}}{{T}_{2}^{\;}}$，解得$△h=\frac{3}{4}h$
则右端活塞距离底部的高度为$h′=h+△h=\frac{7}{4}h$
答：①在温度T₁时，气体的压强$\frac{8mg}{S}$；
②在温度T₂时，右侧活塞距离底部的高度为$\frac{7}{4}h$

点评 本题是连接体问题，对连接体问题，根据气态方程对每部分气体列方程，找出各部分气体间的相关量，让解方程即可正确解题，要掌握连接体问题的解题方法．