Question

8．如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B，宽度为d，边界为CD和EF．一电子从CD边界外侧以速率v₀垂直射入匀强磁场，入射方向与CD边界间夹角为θ．已知电子的质量为m，电荷量为e，为使电子能从磁场的另一侧EF射出，求电子的速率v₀至少多大？若θ角可取任意值，v₀的最小值是多少？

Answer 1

分析 电子在磁场中做匀速圆周运动，当其轨迹恰好与EF边相切时，轨迹半径最小，对应的速度最小．由几何知识求出，再牛顿定律求出速度的范围．运用数学知识，由θ的取值来确定速度的最小，从而求出半径的最小值．

解答 解：当入射速率v₀很小时，电子会在磁场中转动一段圆弧后又从CD一侧射出，
速率越大，轨道半径越大，当轨道与边界EF相切时，电子恰好不能从EF射出，如图所示：
电子恰好射出时，由几何知识可得：
r+rcosθ=d                    ①
电子做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：ev₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，
解得：r=$\frac{m{v}_{0}}{eB}$  ②
由①②得：v₀=$\frac{eBd}{m（1+cosθ）}$        ③
故电子要射出磁场，速率至少应为：$\frac{eBd}{m（1+cosθ）}$．
由③式可知，θ=0°时，v₀=$\frac{Bed}{2m}$最小，
由②式知此时半径最小，r_min=$\frac{d}{2}$，
答：为使电子能从磁场的另一侧EF射出，求电子的速率v₀至少为$\frac{eBd}{m（1+cosθ）}$，θ角可取任意值，v₀的最小值是：$\frac{Bed}{2m}$．

点评 本题考查圆周运动的边界问题的求解方法．当入射速率v₀很小时，电子会在磁场中转动一段圆弧后又从CD一侧射出，速率越大，轨道半径越大，当轨道与边界EF相切时，电子恰好不能从EF射出．