Question

9．图甲为某种弹射小球的游戏装置，光滑水平面上固定一轻质弹簧及长度可调节的竖直细管AB，细管下端接有一小段长度不计的圆滑弯管，上端B与四分之一圆弧弯管BC相接，每次弹射前，推动小球将弹簧压缩到同一位置后锁定，解除锁定，小球即被弹簧弹出．水平射进细管的A端，再从C端水平射出．已知弯管BC的半径R=0.3m，小球的质量m=50g，当竖直细管的长度L=0.1m时，小球到达管口C处时的速度大小v_c=4m/s．不计小球运动中的机械能损失，重力加速度g取10m/s²．

（1）求每次弹射时弹簧对小球所做的功；
（2）调节L时，小球到达管口C时管壁对球的作用力F_N也相应变化，考虑到游戏装置的实际情况，L不能小于0.03m．通过计算求出F_N与L之间的关系式，并在图乙所示的坐标纸上作出F_N随长度L变化的关系图线．（取管壁对球的作用力F_N方向向上为正）

Answer 1

分析 （1）当L=0.1m时，根据功能原理求得小球弹射时弹簧对小球做的功．
（2）小球通过C时临界速度为$\sqrt{gR}$时，小球对管道壁没有作用力，大于临界速度时对上管壁有压力，小球临界速度时对下管壁有压力，根据动能定理求出经过C点的速度，根据牛顿第二定律求出管壁对球的作用力与长度L的关系，再画出图象．

解答 解：（1）当L=0.1 m时，由功能原理得：
每次弹射时弹簧对小球所做的功  W=mg（L+R）+$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
解得：W=0.6J；
（2）小球在C点处的向心力：mg-F_N=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
为使小球能到达C处，须满足：
  W-mg（L+R）≥0
得 L≤0.9 m
所以F_N=$\frac{10}{3}$L-$\frac{5}{2}$（N）（0.03m≤L≤0.9m）
F_N随长度L变化的关系图线如上图所示；
答：
（1）每次弹射时弹簧对小球所做的功是0.6J．
（2）F_N与L之间的关系式是F_N=$\frac{10}{3}$L-$\frac{5}{2}$（N）（0.03m≤L≤0.9m），在图乙所示的坐标纸上作出F_N随长度L变化的关系图线如图．

点评 本题考查了机械能守恒定律与平抛运动规律，掌握小球能过最高点的临界条件，注意掌握过最高点时的绳球模型和杆球模型临界条件的不同．