Question

19．宇航员到某星球探险，已知驾驶的飞船绕此星球表面做匀速圆周运动时的周期为T，飞船降落到星球表面赤道后，测得从质量为的小球m在赤道上受到的重力为F，已知万有引力常数为G，星球自转的角速度为ω，则下列说法正确的是（　　）

• A． 此星球的半径R=$\frac{F{T}^{2}}{4m{π}^{2}-m{T}^{2}{ω}^{2}}$
• B． 此星球的平均密度ρ=$\frac{3π}{G{T}^{2}}$
• C． 星球自转角速度ω若变大，小球m在赤道上受到的重力为F也将变大
• D． 飞船要返回近地轨道，至少使飞船在赤道上获得$\frac{1}{2}$$\frac{m{ω}^{2}{F}^{2}{T}^{4}}{（4m{π}^{2}-m{T}^{2}{ω}^{2}）^{2}}$的能量

Answer 1

分析 飞船绕星球表面做匀速圆周运动，由星球的万有引力提供向心力，考虑星球的自转，万有引力可分解为重力和向心力，再结合密度公式，联立可求得半径和星球的密度；星球的自转的角速度变大，随地自转的向心力变大，重力会变小；根据能量守恒可以得出飞船要返回近地轨道需要的能量

解答 解：AB、由$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$和$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}-F=m{ω}_{\;}^{2}R$联立得$R=\frac{F{T}_{\;}^{2}}{4m{π}_{\;}^{2}-m{T}_{\;}^{2}{ω}_{\;}^{2}}$，$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}=ρ\frac{4}{3}π{R}_{\;}^{3}$得  $ρ=\frac{3π}{G{T}_{\;}^{2}}$，故AB正确；
CD、星球自转角速度ω若变大，小球m在赤道上受到的重力为F将变小，飞船在地面上的动能$\frac{1}{2}m{ω}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{2}$，近地轨道上的动能为$G\frac{Mm}{2R}$，返回轨道需要的能量$G\frac{Mm}{2R}-\frac{1}{2}m{ω}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{2}$，故CD错．
故选：AB

点评 本题主要考查万有引力提供向心力这个关系，要注意向心力公式选取要根据题目提供的已知物理量或所求解的物理量选取应用，考虑星球自转的情况下，万有引力可分解为向心力和重力．