Question

18．如图所示，质量m=1kg的弹性小球A在长为l=0.9m的细轻绳牵引下可以绕水平轴O在竖直平面内做圆周运动，圆周的最高点为P，P处有一个水平槽，水平地面距水平槽的高度恰好是1.8m，槽内有许多质量均为M=3kg的弹性钢球，小球A每次转动到P点恰好与P点处的小钢球发生弹性正碰（碰撞时间极短），钢球水平飞出做平抛运动．每次被小球A碰撞后，槽内填充装置可将另一个相同的钢球自动填充动到P点位置且静止．现将小球A在顶点P以v₀=32m/s的初速度向左抛出（如图），小球均可视为质点，g取10m/s²，求：
（1）第一次碰撞后瞬间，小球A和第一个钢球获得的速度；
（2）小球A能将钢球碰出去的钢球个数；
（3）第一个钢球与最后一个钢球落地后的水平距离．

Answer 1

分析 （1、2）对小球碰撞过程由动量守恒定律及机械能守恒定律可求得碰后的速度大小，分析整体过程，得出通项式从而求得个数；
（3）由平抛运动规律可求得第一个钢球与最后一个钢球落地后的水平距离．

解答 解：（1）小球A在顶部与钢球碰撞，取向左为正方向，由动量守恒定律、机械能守恒定律得：
   mv₀=mv₁+Mv₁′，
 $\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$mv₁²+$\frac{1}{2}$Mv₁′²，
联立解得：v₁=$\frac{m-M}{M+m}$v₀=$\frac{1-3}{3+1}$v₀=-$\frac{1}{2}$v₀=-16m/s
v₁′=$\frac{2m}{M+m}$v₀=$\frac{2×1}{3+1}$v₀=$\frac{1}{2}$v₀=16m/s
（2）利用上述方程还可得小球A第一次碰后的速度 v₁=$\frac{m-M}{M+m}$v₀=-$\frac{1}{2}$v₀
同理可知碰撞n次以后瞬间的速度为 v_n=（-$\frac{1}{2}$）ⁿv₀，负号表示与碰前入射速度方向相反，小球要能与钢球碰撞则必须能完成完整的圆周运动，所以碰n次后假定再次到达P位置，其速度大小一定有：
   v_n≥$\sqrt{gl}$=$\sqrt{10×0.9}$=3m/s
所以：（$\frac{1}{2}$）ⁿv₀≥$\sqrt{gl}$
解得 3＜n＜4
由于n是自然数，所以n=4，小球A可以与4 个钢球碰撞；
（3）第4个钢球碰后速度：v₄′=（$\frac{2m}{M+m}$）⁴v₀=（$\frac{2×1}{1+3}$）⁴×32=2m/s
由于两球是分别朝向左右两边做平抛运动的，所以水平距离是：x=x₁+x₄．
平抛时间是：t=$\sqrt{\frac{4L}{g}}$=$\sqrt{\frac{4×0.9}{10}}$s=0.6s；
x₁=v₁t
x₄=v₄t
x=x₁+x₄
解得：x=（16+2）×0.6m=10.8m
答：
（1）第一次碰撞后瞬间，小球A和第一个钢球获得的速度都是16m/s；
（2）小球A能将钢球碰出去的钢球个数是4；
（3）第一个钢球与最后一个钢球落地后的水平距离是10.8m．

点评 本题的关键要掌握弹性碰撞遵守的规律：动量守恒定律、机械能守恒定律，运用归纳法得到碰后小球和钢球的速度通项，要注意正确分析物理过程，明确小球到达最高点的临界速度．