Question

如图所示，一个带有圆弧的粗糙滑板A，总质量为m_A=3kg，其圆弧部分与水平部分相切于P，水平部分PQ长为L=3.75m．开始时A静止在光滑水平面上，有一质量为m_B=2kg的小木块B从滑板A的右端以水平初速度v₀=5m/s滑上A，小木块B与滑板A之间的动摩擦因数为μ=0.15，小木块B滑到滑板A的左端并沿着圆弧部分上滑一段弧长后返回最终停止在滑板A上。

（1）求A、B相对静止时的速度大小；

（2）若B最终停在A的水平部分上的R点，P、R相距1m，求B在圆弧上运动过程中因摩擦而产生的内能；

（3）若圆弧部分光滑，且除v₀不确定外其他条件不变，讨论小木块B在整个运动过程中，是否有可能在某段时间里相对地面向右运动？如不可能，说明理由；如可能，试求出B既能向右滑动、又不滑离木板A的v₀取值范围。(取g＝10m/s²，结果可以保留根号)

Answer 1

【解析】（1）弹簧刚好恢复原长时，A和B物块速度的大小分别为υ_A、υ_B．

由动量守恒定律有：0 = m_Aυ_A - m_Bυ_B                      2分

此过程机械能守恒有：E_p = m_Aυ+m_Bυ     2分

代入E_p＝108J，解得：υ_A＝6m/s，υ_B = 12m/s，A的速度向右，B的速度向左．2分

（2）C与B碰撞时，设碰后B、C粘连时速度为υ′，据C、B组成的系统动量守恒

有：m_Bυ_B -m_Cυ_C = （m_B+m_C）υ′  代入数据得υ′ = 4m/s，υ′的方向向左   2分

此后A和B、C组成的系统动量守恒，机械能守恒，当弹簧第二次压缩最短时，弹簧具有的弹性势能最大为E_p′，且此时A与B、C三者有相同的速度为υ     2分

则有： m_Aυ_A -（m_B+m_C）υ′ = （m_A+m_B+m_C）υ，代入数据得υ = 1m/s，υ的方向向右．2分

机械能守恒：m_Aυ+（m_B+m_C）υ^′2 = E_p′+（m_A+m_B+m_C）υ²，   2分

代入数据得        E′_p＝50J．        2分

18、（16分）（1）小木块B从开始运动直到A、B相对静止的过程中，系统水平方向上动量守恒，有                                 ①

解得  ＝2 m/s                                   ②

（2）B在A的圆弧部分的运动过程中，它们之间因摩擦产生的内能为Q₁，B在A的水平部分往返的运动过程中，它们之间因摩擦产生的内能为Q₂，由能量关系得到

                                   ③

                                             ④

              ⑤

（3）设小木块B下滑到P点时速度为v_B，同时A的速度为v_A，由动量守恒和能量关系可以得到                                            ⑥

                      ⑦

由⑥⑦两式可以得到

，令

，化简后为                        ⑧

若要求B最终不滑离A，由能量关系必有

                                      ⑨

化简得                                                           ⑩

故B既能对地向右滑动，又不滑离A的条件为

                                                         ⑾

即  （ ）                   ⑿

本题共16分．①③⑧⑨每式2分，其余各式每式1分