Question

有两个完全相同的小滑块A和B， A沿光滑水平面以速度v₀与静止在平面边缘O点的B发生正碰，碰撞中无机械能损失。碰后B运动的轨迹为OD曲线，如图所示。

（1）已知滑块质量为m，碰撞时间为Dt，求碰撞过程中A对B平均冲力的大小；

（2）为了研究物体从光滑抛物线轨道顶端无初速下滑的运动，物制做一个与B平抛轨迹完全相同的光滑轨道，并将该轨道固定在与OD曲线重合的位置，让A沿该轨道无初速下滑（经分析A在下滑过程中不会脱离轨道），

a．分析A沿轨道下滑到任意一点时的动量P_A与B平抛经过该点时的动量P_B的大小关系；

b．在OD曲线上有一点M，O和M两点的连线与竖直方向的夹角为45°，求A通过M点时的水平分速度和竖直分速度。

Answer 1

解析：（1）滑动A与B正碰，满足：mv_A-mv_B=mv₀            

      

由①②，解得v_A=0, v_B=v₀,

根据动量定理，滑块B满足        F·t=mv₀

解得           

(2)a.设任意点到O点竖直高度差为d，A、B由O点分别运动至该点过程中，只有重力做功，所以机械能守恒。选该任意点为势能零点，有

E_A=mgd,E_B= mgd+

由于p=,有

即   P_A<P_B，A下滑到任意一点的动量总和是小于B平抛经过该点的动量。

b.以O为原点，建立直角坐标系xOy,x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向下，则对B有::x=v₀t，y=gt²

B的轨迹方程      y=

在M点x=y，所以                              

因为A、B的运动轨迹均为OD曲线，故在任意一点，两者速度方向相同。设B水平和竖直分速度大小分别为和，速率为v_B；A水平和竖直分速度大小分别为和，速率为v_A,则:             

B做平抛运动，故   

对A由机械能守恒得v_A=             

由由以上三式得

将代入得：