Question

如图甲所示，在光滑绝缘水平桌面内建立xoy坐标系，在第Ⅱ象限内有平行于桌面的匀强电场，场强方向与x轴负方向的夹角θ=45°．在第Ⅲ象限垂直于桌面放置两块相互平行的平板C₁、C₂，两板间距为d₁=0.6m，板间有竖直向上的匀强磁场，两板右端在y轴上，板C₁与x轴重合，在其左端紧贴桌面有一小孔M，小孔M离坐标原点O的距离为l₁=0.72m．在第Ⅳ象限垂直于x 轴放置一竖直平板C₃，垂足为Q，Q、O相距d₂=0.18m，板C₃长l₂=0.6m．现将一带负电的小球从桌面上的P点以初速度v₀=2m/s垂直于电场方向射出，刚好垂直于x轴穿过C₁板上的M孔，进入磁场区域．已知小球可视为质点，小球的比荷=20C/kg，P点与小孔M在垂直于电场方向上的距离为s=m，不考虑空气阻力．

求：

（1）匀强电场的场强大小；

（2）要使带电小球无碰撞地穿出磁场并打到平板C₃上，求磁感应强度B的取值范围；

（3）以小球从M点进入磁场开始计时，磁场的磁感应强度随时间呈周期性变化，规定竖直向上为磁感强度的正方向，如图乙所示，则小球能否打在平板C₃上？若能，求出所打位置到Q点距离；若不能，求出其轨迹与平板C₃间的最短距离．（=1.73，计算结果保留两位小数）

Answer 1

【考点】： 带电粒子在匀强磁场中的运动；带电粒子在匀强电场中的运动．

【专题】： 带电粒子在复合场中的运动专题．

【分析】： （1）小球在第二象限内做类平抛运动，结合牛顿第二定律和运动学公式求出电场强度的大小．

（2）根据类平抛运动的规律求出经过M点的速度，作出粒子在磁场中的临界运动轨迹，结合几何关系和半径公式求出磁感应强度的范围．

（3）根据半径公式和周期公式求出粒子在磁场中运动的轨道半径和周期，由磁场的周期得出小球在磁场中运动的轨迹图，以及得出在一个磁场周期内小球在x轴方向的位移，判断能否打在平板C₃上，若能打在平板C₃上，通过几何关系求出其轨迹与平板C₃间的最短距离．

【解析】： 解：（1）小球在第Ⅱ象限内做类平抛运动有：

v₀t=s

at=v₀tanθ

由牛顿第二定律有：qE=ma

代入据解得：E=．

（2）设小球通过M点时的速度为v，

由类平抛运动规律：==4m/s，

小球垂直磁场方向进入两板间做匀速圆周运动，轨迹如图，由牛顿第二定律有：

，

得：B=

小球刚好能打到Q点磁感应强度最强设为B₁．此时小球的轨迹半径为R₁，由几何关系有：

=

代入数据解得：．

小球刚好不与C₂板相碰时磁感应强度最小设为B₂，此时粒子的轨迹半径为R₂，由几何关系有：

R₂=d₁，

代入数据解得：．

综合得磁感应强度的取值范围：

（3）小球进入磁场做匀速圆周运动，设半径为为R₃，周期为T有：

，

代入数据解得：R₃=0.09m．

，

代入数据解得：T=．

由磁场周期得小球在磁场中运动的轨迹如图

可得：一个磁场周期内小球在x轴方向的位移为3R₃

由分析知有：l₁=（3n+2）R₃，n=2

则小球能打在平板C₃上，设位置到Q点距离为h有：

h=2（n+1）R₃cosβ﹣R₃，

解得：h==0.38m．

答：（1）匀强电场的场强大小为；

（2）磁感应强度B的取值范围为；

（3）小球能打在平板C₃上，轨迹与平板C₃间的最短距离为0.38m．

【点评】： 本题关键是明确粒子的运动规律、画出运动轨迹，然后结合牛顿第二定律、类似平抛运动的分位移公式和几何关系列式求解，难度较大．