Question

12．一质点在Oxy平面内做曲线运动，已知a_x=2，a_y=12t²（单位：m•s^-2）．设质点在t=0时，r₀=0，v₀=0．求质点的：
（1）运动方程；
（2）轨迹方程；
（3）切向加速度．

Answer 1

分析 （1）已知运动的加速度、初速度，分别写出沿两个方向的方程即可．
（2）将两个方程中的参量t约掉，得到轨迹方程；
（3）由矢量的合成可知，切向加速度为两个分方向的加速度的矢量合，由此即可求出．

解答 解：（1）由于在t=0时，r₀=0，v₀=0．可知物体开始时位于坐标原点，初速度等于0；
x方向：v_x=a_xt=2tm/s，$x=\frac{1}{2}{a}_{x}{t}^{2}={t}^{2}$m
y方向：${v}_{y}={a}_{y}t=12{t}^{3}$m/s，y=$\frac{1}{2}{a}_{y}{t}^{2}=6{t}^{4}$m
（2）其轨迹方程：y=6t⁴=6（t²）²=6x²m
可知其轨迹方程为抛物线方程
（3）切向加速度为两个分方向的加速度的矢量合，即：a=$\sqrt{{a}_{x}^{2}+{a}_{y}^{2}}$
联立可得：a=$2\sqrt{1+36{t}^{4}}$m/s²
答：（1）运动方程为：x方向：v_x=a_xt=2tm/s，$x=\frac{1}{2}{a}_{x}{t}^{2}={t}^{2}$m
y方向：${v}_{y}={a}_{y}t=12{t}^{3}$m/s，y=$\frac{1}{2}{a}_{y}{t}^{2}=6{t}^{4}$m；
（2）轨迹方程为y=6x²；
（3）切向加速度为$2\sqrt{1+36{t}^{4}}$m/s²．

点评 该题属于竞赛题目，解答的关键是正确理解参数方程的物理意义，能结合参数方程分析质点的运动是解答的关键．