Question

3．如图所示，A是地球的同步卫星，B是与A在同一平面内且离地高度为地球半径R的另一卫星，地球视为均匀球体且自转周期为T，地球表面的重力加速度为g，O为地球的球心，则（　　）

• A． 卫星B的运动速度v_B=$\sqrt{\frac{gR}{2}}$
• B． 卫星B的周期T_B=2π$\sqrt{\frac{2R}{g}}$
• C． A的轨道半径r=$\root{3}{\frac{{g}^{2}{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$
• D． 每经过时间$\frac{4πT\sqrt{2R}}{T\sqrt{g}-4π\sqrt{2R}}$A与B之间的距离再次最小

Answer 1

分析 研究卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式表示出线速度，周期与半径．
卫星A、B绕地球做匀速圆周运动，当卫星B转过的角度与卫星A转过的角度之差等于2π时，卫星再一次相距最近．

解答 解：AB、设地球质量为M，卫星质量为m，根据万有引力和牛顿运动定律，有：
G$\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}_{B}^{2}}$（R+h）=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{（R+h）}$
在地球表面有：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg
因B是与A在同一平面内且离地高度为地球半径R的另一卫星，
即h=R，
联立得：v_B=$\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{2R}}$=$\sqrt{\frac{gR}{2}}$
T_B=2π$\sqrt{\frac{（R+h）^{3}}{g{R}^{2}}}$=2π$\sqrt{\frac{8R}{g}}$ 故A正确，B错误．
C、A是地球的同步卫星，依据引力提供向心力，则有：$\frac{GMm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$
解得：r=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$，故C错误；
D、它们再一次相距最近时，一定是B比A多转了一圈，有：
ω_Bt-ω₀t=2π
其中ω_B=$\frac{2π}{{T}_{B}}$
得：t=$\frac{4πT\sqrt{2R}}{T\sqrt{g}-4π\sqrt{2R}}$，故D正确；
故选：AD

点评 本题考查万有引力定律和圆周运动知识的综合应用能力．向心力的公式选取要根据题目提供的已知物理量或所求解的物理量选取应用．