Question

4．如图所示，倾斜轨道AB的倾角为37°，CD、EF轨道水平，AB与CD通过光滑圆弧管道BC连接，CD右端与竖直光滑圆周轨道相连．小球可以从D进入该轨道，沿轨道内侧运动，从E滑出该轨道进入EF水平轨道．小球由静止从A点释放，已知AB长为5R，CD长为R，重力加速度为g，小球与斜轨AB及水平轨道CD、EF的动摩擦因数均为0.5，sin37°=0.6，cos37°=0.8，圆弧管道BC入口B与出口C的高度差为l.8R．求：（在运算中，根号中的数值无需算出）
（1）小球滑到斜面底端C时速度的大小．
（2）小球刚到C时对轨道的作用力．
（3）要使小球在运动过程中不脱离轨道，竖直圆周轨道的半径R′应该满足什么条件？

Answer 1

分析 （1）对球从A运动至C过程运用动能定理列式求解即可；
（2）在C点，重力和支持力的合力提供向心力；根据牛顿第二定律列式求解支持力；然后再结合牛顿第三定律求解压力；
（3）要使小球不脱离轨道，有两种情况：情况一：小球能滑过圆周轨道最高点，进入EF轨道．情况二：小球上滑至四分之一圆轨道的点（设为Q）时，速度减为零，然后滑回D．由动能定理列出等式求解．

解答 解：（1）设小球到达C点时速度为v，a球从A运动至C过程，由动能定理有：
$mg（5Rsin{37^0}+1.8R）-μmgcos{37^0}•5R=\frac{1}{2}mv_c^2$
可得：${v_c}=\sqrt{5.6gR}$
（2）小球沿BC轨道做圆周运动，设在C点时轨道对球的作用力为N，由牛顿第二定律，有：
$N-mg=m\frac{v_c^2}{r}$
其中r满足：
r+r•sin53°=1.8R
联立上式可得：
N=6.6mg
由牛顿第三定律可得，球对轨道的作用力为6.6mg，方向竖直向下． 
（3）要使小球不脱离轨道，有两种情况：
情况一：小球能滑过圆周轨道最高点，进入EF轨道．则小球在最高点P应满足：
$m\frac{{{v_P}^2}}{R^'}≥mg$
小球从C直到P点过程，由动能定理，有：
$-μmgR-mg•2{R^'}=\frac{1}{2}m{v_P}^2-\frac{1}{2}m{v_c}^2$
可得：
 ${R^'}≤\frac{23}{25}R=0.92R$
情况二：小球上滑至四分之一圆轨道的Q点时，速度减为零，然后滑回D．则由动能定理有：
$-μmgR-mg•{R^'}=0-\frac{1}{2}m{v_c}^2$
解得：R′≥2.3R
答：（1）小球滑到斜面底端C时速度的大小为$\sqrt{5.6gR}$；
（2）小球对刚到C时对轨道的作用力为6.6mg；
（3）要使小球在运动过程中不脱离轨道，竖直圆周轨道的半径R′应该满足：R′≤0.92R或R′≥2.3R；

点评 本题考查动能定理及能量守恒等的应用；此题要求熟练掌握动能定理、能量守恒定律、圆周运动等规律，包含知识点多，难度较大，属于难题．