Question

一个质量为M的雪橇静止在水平雪地上，一条质量为m的爱斯基摩狗站在该雪橇  上．狗向雪橇的正后方跳下，随后又追赶并向前跳上雪橇；其后狗又反复地跳下、追赶并跳上雪橇．狗与雪橇始终沿一条直线运动．若狗跳离雪橇时雪橇的速度为V，则此时狗相对于地面的速度为V+u（其中u为狗相对于雪橇的速度，V+u为代数和，若以雪橇运动的方向为正方向，则V为正值，u为负值）．设狗总以速度v追赶和跳上雪橇，雪橇与雪地间的摩擦忽略不计．已知v的大小为5m/s，u的大小为4m/s，M=30kg，m=10kg．
（1）求狗第一次跳上雪橇后两者的共同速度的大小．
（2）求雪橇最终速度的大小和狗最多能跳上雪橇的次数．（供使用但不一定用到的对数值：lg 2=0.301，lg 3=0.477）

Answer 1

（1）设雪橇运动的方向为正方向．狗第1次跳下雪橇后雪橇相对地面的速度为V₁，则此时狗相对于地面的速度为（V+μ），
由于雪橇和地面之间的摩擦忽略不计，故狗和雪橇组成的系统水平向动量守恒，
根据动量守恒定律，有MV₁+m（V₁+u）=0…①
设狗第1次跳上雪橇时，雪橇与狗的共同速度为V₁’
由于此时狗和雪橇组成的系统水平向动量仍然守恒，则有  MV₁+mv=（M+m）V₁’…②
联立①②两式可得   

V

′1

=

-Mmu+(M+m)mv

(M+m)2

…③
将u=-4 m/s，v=5 m/s，M=30 kg，m=10 kg代入③式可得V₁’=2 m/s
（2）解法（一）
设雪橇运动的方向为正方向．狗第（n-1）次跳下雪橇后雪橇的速度为v_n-1，则狗第（n-1）次跳上雪橇后的速度V_n-1’，
满足M V_n-1+mv=（M+m） V_n-1’…④
这样，狗n次跳下雪橇后，雪橇的速度为V_n满足
M V_n+m（V_n+u）=（M+m） V_n-1’…⑤
解得  Vn=(v-u)[1-(

M

M+m

)n-1]-

mu

M+m

(

M

M+m

)n-1
狗追不上雪橇的条件是    v_n≥v
可化为   (

M

M+m

)n-1≤

(M+m)u

Mu-(M+m)v

最后可求得 n≥1+

lg( Mu-(M+m)v (M+m)u )

lg( M+m M )

代入数据，得n≥3.41
故狗最多能跳上雪橇3次，雪橇最终的速度大小为 v₄=5.625 m/s
解法（二）：
设雪橇运动的方向为正方向．狗第i次跳下雪橇后，雪橇的速度为V_i′狗的速度为V_i+u；狗第i次跳上雪橇后，雪橇和狗的共同速度为V_i′，由动量守恒定律可得
第一次跳下雪橇：MV₁+m（V₁+u）=0…④
V1=-

mu

M+m

=1m/s
第一次跳上雪橇：MV₁+mv=（M+m）V₁’…⑤
 

V

′1

=

-Mmu+(M+m)mv

(M+m)2

第二次跳下雪橇：（M+m）V₁’=MV₂+m（V₂+u）…⑥
V2=

(M+m) V ′1 -mu

M+m

=3m/s
第二次跳上雪橇：MV₂+mv=（M+m）V₂’…⑦

V

′2

=

MV2+mv

M+m

第三次跳下雪橇：（M+m）V₂’=MV₃+m（V₃+u）…⑧
V3=

(M+m) V ′2 -mu

M+m

=4.5m/s
第三次跳上雪橇：（M+m）V₃=MV₃’+m（V₃’+u）…⑨

V

′3

=

(M+m)V3-mu

M+m

第四次跳下雪橇：（M+m）V₃’=MV₄+m（V₄+u）…⑩
V4=

(M+m) V ′3 -mu

M+m

=5.625m/s
此时雪橇的速度已大于狗追赶的速度，狗将不可能追上雪橇．
因此，狗最多能跳上雪橇3次．雪橇最终的速度大小为5.625m/s．