Question

18．如图甲所示，xOy平面内虚线左侧存在着沿y轴正方向的匀强电场，虚线右侧有垂直纸面的磁场，磁感应强度B按如图乙所示的规律变化，设垂直纸面向外的磁场方向为正方向．某时刻一个带正电的粒子从坐标原点O以速度v₀沿x轴正方向开始运动，在t=$\frac{T}{2}$时刻经过图中虚线上的P点进入磁场，t=$\frac{3T}{4}$时该粒子通过x轴且速度方向沿，y轴负方向，P点坐标为（2$\sqrt{3}$a，a），不计粒子的重力．试求：

（1）电场强度的大小．
（2）若P点坐标为（2$\sqrt{3}$，1），粒子速度v₀=1×10²m/s，求出粒子在磁场中运动的时间并做出粒子的运动过程轨迹示意图．

Answer 1

分析 （1）带电粒子从O到P做类平抛运动，根据牛顿第二定律和运动学规律结合可求得电场强度与初速度的关系式．粒子在磁场中做匀速圆周运动，画出轨迹，由几何关系求解轨迹半径，由牛顿第二定律得到半径与速度的关系式，联立可求得电场强度．
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，结合轨迹的圆心角和周期，可求得时间．

解答 解：（1）设粒子的质量为m，电荷量为q，从O到P做类平抛运动，运动时间设为t，则有：
  2$\sqrt{3}$a=v₀t
  a=$\frac{1}{2}•\frac{qE}{m}{t}^{2}$
得 E=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{6qa}$
粒子运动到P点速度为v，与x方向的夹角为α，则有：
v_y=$\frac{qE}{m}t$=$\frac{q}{m}$•$\frac{m{v}_{0}^{2}}{6qa}$•$\frac{2\sqrt{3}a}{{v}_{0}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}{v}_{0}$
v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}{v}_{0}$
tanα=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即：α=30°
粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径为R，则有：R=$\frac{mv}{q{B}_{0}}$
画出轨迹，如图，由几何关系和题意可得：R=$\frac{2\sqrt{3}a}{3}$
由以上各式解得：E=$\frac{{B}_{0}{v}_{0}}{6}$
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期：T₁=$\frac{2πm}{q{B}_{0}}$=$\frac{2πa}{{v}_{0}}$
由几何关系可知粒子运动$\frac{T}{4}$轨迹对应的圆心角为 φ=120°
此过程粒子运动的时间为：t=$\frac{{T}_{1}}{3}$
根据磁感应强度B的变化规律，作出粒子的运动过程示意图．
由图可知粒子在磁场中运动的时间为：t′=$\frac{1}{3}{T}_{1}$+T₁+$\frac{1}{3}{T}_{1}$=$\frac{5}{3}{T}_{1}$=$\frac{10πa}{3{v}_{0}}$
代入数据解得：t′=$\frac{10π}{3}×1{0}^{-2}$s
答：（1）电场强度的大小为$\frac{{B}_{0}{v}_{0}}{6}$．
（2）粒子在磁场中运动的时间为$\frac{10π}{3}×1{0}^{-2}$s，作出粒子的运动过程轨迹示意图如图．

点评 由该题看出，分清物理过程，不同物理过程应用相应的物理知识；抓住关键字句，分析出关键条件．在磁场中，利用相关知识来“定圆心，找半径”，画出轨迹，要有良好的作图能力及几何分析能力，这是解决此类问题的关键．