Question

13．光滑绝缘轨道由两部分组成：水平轨道和竖直圆弧轨道，圆弧的半径为r．两轨道相切于B点，轨道处于水平向右的匀强电场中．质量为m，电量为q的小球从A点由静止开始运动，刚好可以通过圆弧轨道的最高点C，若AB等于$\frac{10}{3}r$．求：
（1）匀强电场的场强E多大？
（2）小球经过圆弧轨道最低点B时对轨道的压力多大？
（3）小球的最大动能E_k．

Answer 1

分析 （1）应用动能定理研究小球由A→C的过程，求出小球在C点的速度大小，
（2）对小球在B点进行受力分析，找出径向提供向心力的外力，应用牛顿第二定律解决．
（3）由等效法找到等效最高点，再由动能定理及向心力公式可求得开始的位置即可求得．

解答 解：（1）小球刚好过最高点C，轨道对小球无压力，由重力提供向心力，有：$mg=m\frac{v_c^2}{r}$
得：${v_c}=\sqrt{gr}$
小球从A运动到C的过程：由动能定理得：
qE×$\frac{10}{3}$r-mg×2r=$\frac{1}{2}mv_c^2-0$
得：$E=\frac{3mg}{4q}$
（2）小球从A运动到B的过程：由动能定理得：
qE×$\frac{10}{3}$r=$\frac{1}{2}mv_B^2-0$
代入$E=\frac{3mg}{4q}$得
${v_B}=\sqrt{5gr}$
由重力和支持力的合力提供向心力有：$N-mg=m\frac{v_B^2}{r}$
代入${v_B}=\sqrt{5gr}$得：N=6mg
由牛顿第三定律：N′=N=6mg
（3）设最大动能的位置在与OB成θ处如图，由等效场思想可知：$tanθ=\frac{qE}{mg}=\frac{3}{4}$
θ=37°
由动能定理：
${E_k}=qE（\frac{10}{3}r+rsin{37^0}）-mgr（1-cos{37^0}）$
${E_k}=\frac{11}{4}mgr$
答：（1）匀强电场的场强E为$\frac{3mg}{4q}$
（2）小球经过圆弧轨道最低点B时对轨道的压力为6mg
（3）小球的最大动能是$\frac{11}{4}mgr$

点评 在本题中物体不仅受重力的作用，还有电场力，在解题的过程中，一定要分析清楚物体的受力和运动过程，特别是小球恰好过D点的条件，根据动能定理和牛顿第二定律灵活列式求解