Question

3．如图所示，质量为m的长木板A静止在光滑水平面上，A的右端放质量为2m的小铅块B，A，B之间的动摩擦因数为μ．木板A长为L，在距离A的左端L远处有一竖直挡板C．现用锤子打击铅块B，使B获得大小为v₀的水平向左的速度．重力加速度为g，L=$\frac{{v}_{0}^{2}}{μg}$．
（1）求B在A的上表面相对滑动时，A，B的加速度；
（2）求A第一次与挡板C相碰前的速度大小；
（3）若A与C相碰的时间忽略不计，且相碰后A的速度反向，大小不变，求A第二次与C相碰时B距A的左端的距离．

Answer 1

分析 （1）分别对A和B受力分析，根据牛顿第二定律求得A和B的加速度；
（2）根据位移关系分析A第一次与C碰撞时是否与B区速，若共速则根据动量守恒求得碰撞前的速度，若不共速根据位移时间关系求得碰撞前的速度；
（3）结合动量守恒和物体的相对运动求出B在A上滑动的距离．

解答 解：（1）对B分析可知，B在A对B的滑动摩擦力作用下产生加速度，据牛顿第二定律可知：
B产生的加速度${a}_{B}=\frac{{f}_{B}}{{m}_{B}}=\frac{μ{m}_{B}g}{{m}_{B}}=μg$
以A为研究对象受力分析，水平方向A在B对A的摩擦力作用下产生加速度，据牛顿第二定律有：
A产生的加速度${a}_{A}=\frac{{f}_{A}}{{m}_{A}}=\frac{μ{m}_{B}g}{{m}_{A}}=2μg$
（2）AB组成的系统水平方向动量守恒，可得当AB速度相等时的共同速度满足：
m_Bv₀+0=（m_A+m_B）v
可得其共同速度$v=\frac{{m}_{B}}{{m}_{A}+{m}_{B}}{v}_{0}=\frac{2}{3}{v}_{0}$
因为A做初速度为0的匀加速直线运动，根据速度位移关系可知，当A达到共同速度时，其发生的位移：
${x}_{A}=\frac{{v}^{2}-0}{2{a}_{A}}=\frac{（\frac{2{v}_{0}}{3}）^{2}}{2×2μg}=\frac{{v}_{0}^{2}}{9μg}=\frac{1}{9}L$＜L
所以A第一次与C碰撞前的速度为AB的共同速度，即为$\frac{2{v}_{0}}{3}$；
（3）由（2）可知，当AB第一次共速时，B发生的位移
${x}_{B}=\frac{（\frac{2{v}_{0}}{3}）^{2}-{v}_{0}^{2}}{-2μg}$=$\frac{5{v}_{0}^{2}}{18μg}$=$\frac{5}{18}L$
由（2）分析知，B相对于A的位移$△{x}_{1}={x}_{B}-{x}_{A}=\frac{1}{6}L$
当A与C碰撞后，A的速度方向立即改变，大小不变，根据动量守恒AB再次速度相等时有：
m_Bv-m_Av=（m_A+m_B）v′
可得共同速度$v′=\frac{2m•\frac{2{v}_{0}}{3}-m•\frac{2{v}_{0}}{3}}{m+2m}=\frac{2}{9}{v}_{0}$，方向水平向左
B向左减速的位移：${x}_{B}′=\frac{（\frac{2}{9}{v}_{0}）^{2}-（\frac{2{v}_{0}}{3}）^{2}}{2×（-μg）}=\frac{16}{81}•\frac{{v}_{0}^{2}}{μg}=\frac{16}{81}L$
A向右匀减速运动的位移：${x}_{A}′=\frac{（\frac{2}{9}{v}_{0}）^{2}-（\frac{2{v}_{0}}{3}）^{2}}{2×2μg}=\frac{8}{81}•\frac{{v}_{0}^{2}}{μg}=\frac{8}{81}L$
此过程中AB的相对位移$△{x}_{2}={x}_{B}′+{x}_{A}′=\frac{24}{81}L=\frac{8}{27}L$
所以物体在第二次与C碰撞过程中，B相对于A的总位移$△x=△{x}_{1}+△{x}_{2}=\frac{1}{6}L+\frac{8}{27}L=\frac{25}{54}L$
因为A长度为L，所以第二次与C碰撞时，B相对于A左端的距离为L-△x=$\frac{29}{54}L$
答：（1）B在A的上表面相对滑动时，A，B的加速度分别为2μg，μg；
（2）A第一次与挡板C相碰前的速度大小为$\frac{2{v}_{0}}{3}$；
（3）若A与C相碰的时间忽略不计，且相碰后A的速度反向，大小不变，A第二次与C相碰时B距A的左端的距离为$\frac{29}{54}L$．

点评 本题主要从水平方向AB组成的系统动量守恒，求B在A上滑动的总距离也可以从能量守恒的角度分析求解．