Question

11．如图所示，空间存在水平向右的匀强电场．在竖直平面上建立平面直角坐标，在坐标平面的第一象限内固定绝缘光滑的半径为R的$\frac{1}{4}$圆周轨道，轨道的两端在坐标轴上．质量为m的带正电的小球从轨道上端由静止开始滚下，已知重力为电场力的2倍，求：
（1）在轨道上小球获得最大速度的位置坐标；
（2）在轨道最低点时轨道对小球的支持力．

Answer 1

分析 （1）当小球在轨道上的速度最大时，设此时小球所在的半径与竖直方向夹角为θ，根据几何关系即可求解；
（2）根据动能定理求出小球运动到最低点的速度，结合牛顿第二定律求出支持力的大小，从而得知小球在B点对轨道的压力．

解答 解：（1）当小球运动到等效最低点时，速度最大，此时小球所处的位置与竖直方向的夹角，与电场力和重力的合力在同一直线上，
由三角形的相似性得：
$\frac{x}{y}=\frac{qE}{mg}$，
x²+y²=R²，
所以：位置坐标（$\frac{\sqrt{5}}{5}R，\frac{2\sqrt{5}}{5}R$）
（2）由动能定理得：$mgR-qER=\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
由向心力得：${F}_{N}-mg=m\frac{{v}^{2}}{R}$，
所以：F_N=2mg．
答：（1）在轨道上小球获得最大速度的位置坐标为（$\frac{\sqrt{5}}{5}R，\frac{2\sqrt{5}}{5}R$）；
（2）在轨道最低点时轨道对小球的支持力为2mg．

点评 本题综合考查了动能定理、牛顿第二定律，综合性较强，关键掌握小球脱离B点后在水平方向上和竖直方向上的运动规律．