Question

15．如图甲所示，两根足够长、电阻不计的光滑平行金属导轨相距为L₁=1m，导轨平面与水平面成θ=30°角，上端连接阻值R=1.5Ω的电阻；质量为m=0.2kg、阻值r=0.5Ω的匀质金属棒ab放在两导轨上，距离导轨最上端为L₂=4m，棒与导轨垂直并保持良好接触．整个装置处于一匀强磁场中，该匀强磁场方向与导轨平面垂直，磁感应强度大小随时间变化的情况如图乙所示．（g=10m/s²）

（1）保持ab棒静止，在0～4s内，通过金属棒ab的电流多大？方向如何？
（2）为了保持ab棒静止，需要在棒的中点施加了一平行于导轨平面的外力F，求当t=2s时，外力F的大小和方向；
（3）5s后，撤去外力F，金属棒将由静止开始下滑，这时用电压传感器将R两端的电压即时采集并输入计算机，在显示器显示的电压达到某一恒定值后，记下该时刻棒的位置，测出该位置与棒初始位置相距2.4m，求金属棒此时的速度及下滑到该位置的过程中在电阻R上产生的焦耳热．

Answer 1

分析 （1）在0～4s内，由法拉第电磁感应定律和闭合电路欧姆定律求解．
（2）根据法拉第电磁感应定律求出0～4s内感应电动势，再根据闭合电路欧姆定律求出电流，从而求出安培力，利用棒子的平衡求出外力F的大小和方向．
（3）导体棒由静止下滑，受重力、支持力、安培力，当下滑的加速度减小为0时，速度稳定，电压也稳定，根据平衡求出此时的速度，再根据能量守恒求出总热量，根据电流时刻相同，${Q}_{R}=\frac{R}{R+r}{Q}_{总}$．

解答 解：（1）在0～4s内，由法拉第电磁感应定律：
$E=\frac{△Φ}{△t}=\frac{△B}{△t}{L_1}{L_2}=\frac{1}{4}×1×4V=1V$
由闭合电路欧姆定律：
$I=\frac{E}{R+r}=\frac{1}{1.5+0.5}A=0.5A$
方向由a→b．   
（2）当t=2s时，ab棒受到沿斜面向上的安培力F_安=BIL₁=0.5×0.5×1N=0.25N
对ab棒受力分析，由平衡条件：F+F_安-mgsin30°=0
F=mgsin30°-F_安=（0.2×10×0.5-0.25）N=0.75N
方向沿导轨斜面向上．    
（3）ab棒沿导轨下滑切割磁感线产生感应电动势，有：E′=B′L₁v
产生的感应电流　${I^'}=\frac{E^'}{R+r}=\frac{{{B^'}{L_1}v}}{R+r}$
棒下滑至速度稳定时，棒两段电压也恒定，此时ab棒受力平衡，
有：mgsin30°=B′I′L₁
解得：$v=\frac{{mg（R+r）sin{{30}°}}}{{{B^'}^2{L_1}^2}}=\frac{0.2×10×（1.5+0.5）×0.5}{{{{1.0}^2}×{1^2}}}m/s=2m/s$
由动能定理，得$mgSsin{30°}-{Q_总}=\frac{1}{2}m{v^2}-0$
${Q_总}=mgSsin{30°}-\frac{1}{2}m{v^2}=（0.2×10×2.4×0.5-\frac{1}{2}×0.2×{2^2}）J=2J$
∴${Q_R}=\frac{R}{R+r}{Q_总}=\frac{1.5}{1.5+0.5}×2J=1.5J$
答：（1）保持ab棒静止，在0～4s内，通过金属棒ab的电流是0.5A，方向由a→b．
（2）为了保持ab棒静止，需要在棒的中点施加了一平行于导轨平面的外力F，求当t=2s时，外力F的大小是0.75N，方向沿导轨斜面向上．    
（3）金属棒此时的速度是2m/s，下滑到该位置的过程中在电阻R上产生的焦耳热是1.5J．

点评 解决本题的关键掌握法拉第电磁感应定律E=n$\frac{△φ}{△t}$=n $\frac{△B}{△t}$S，以及导体棒切割产生的感应电动势E=BLv．