Question

14．如图所示，物块A的质量为m_A=2.0kg，沿光滑水平面以v₀=6$\sqrt{3}$m/s速度水平向右匀速运动，离开平面后刚好落在静止在斜面上的木板B的最上端，且测得物块A所经轨迹到斜面的垂直距离最远．已知斜面足够长，倾角θ=30°，木板B的质量m_B=2.0kg，A、B间的动摩擦因数μ₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，B与斜面间的动摩擦因数μ₂=$\frac{2\sqrt{3}}{5}$，A在B上运动的过程中恰好没有滑离B木板，所有接触面间的最大摩擦力均等于滑运动摩擦力（g=10m/s²）．求：
（1）A平抛运动的时间；
（2）木板B的长度；
（3）A、B整个运动过程中损失的机械能．

Answer 1

分析 （1）将落在木板B上的速度分解为水平方向和竖直方向，根据平行四边形定则求出竖直分速度，结合速度时间公式求出平抛运动的时间．
（2）根据牛顿第二定律分别求出A、B在斜面上运动时的加速度，根据运动学公式求出相对运动的位移，从而得出A、B间因摩擦产生的内能．
（3）根据A、B间摩擦产生的热量以及B与斜面间摩擦产生的热量，求出整个运动过程中损失的机械能．

解答 解：（1）物块落在B上时，竖直方向上的分速度v_y=v₀tanθ，
则平抛运动的时间t=$\frac{{v}_{y}}{g}=\frac{{v}_{0}tanθ}{g}=\frac{6\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}}{10}s=0.6s$．
（2）A在B上运动的初速度${v}_{1}=\frac{{v}_{0}}{cos30°}=\frac{6\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}m/s=12m/s$
A在B上滑动的加速度${a}_{1}=\frac{{m}_{A}gsinθ-{μ}_{1}mAgcosθ}{{m}_{A}}$=gsinθ-μ₁gcosθ=10×$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}×10×\frac{\sqrt{3}}{2}$=-2.5m/s²．
B运动的加速度${a}_{2}=\frac{{m}_{B}gsin30°+{μ}_{1}{m}_{A}gcos30°-{μ}_{2}（{m}_{A}+{m}_{B}）gcos30°}{{m}_{B}}$=0.5m/s²．
当两者速度相等时，A恰好没离开B，根据速度时间公式得，v₁+a₁t=a₂t
解得t=$\frac{{v}_{1}}{{a}_{2}-{a}_{1}}=\frac{12}{0.5+2.5}s=4s$．
则A、B之间的相对位移大小$△x={v}_{1}t+\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}-\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}$=$12×4-\frac{1}{2}×2.5×16-\frac{1}{2}×0.5×16m$=24m，
故木板长度为24m
（3）A、B间由于摩擦产生的热量Q₁=μ₁m_Agcos30°△x=360J．
在此过程中B的位移${x}_{2}=\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}=4m$，
则B与接触面间的摩擦力产生的热量Q₂=μ₂（m_A+m_B）gcos30°x₂=96J
则△E=Q=Q₁+Q₂=360+96J=456J．
答：（1）A平抛运动的时间为0.6s；
（2）木板长度为24m；
（3）A、B整个运动过程中损失的机械能为456J．

点评 解决本题的关键理清A、B在整个过程中的运动规律，结合牛顿第二定律和运动学公式进行求解，知道物体的受力是解决本题的关键．