Question

19．如图1所示，两根相距为L=2.0m的金属轨道固定于水平面上，导轨电阻不计，一根质量为m=1.0kg、长为L=2.0m、电阻为r=2.0Ω的金属棒两端放于导轨上，导轨与金属棒间的动摩擦因数为μ=0.20，棒与导轨的接触电阻不计．导轨左端连有阻值为R=4.0Ω的电阻，在电阻两端接有电压传感器并与计算机相连．有n段垂直导轨平面的宽度为c=3.0m，间距为d=2.0m的匀强磁场，磁感强度大小为B=1.0T，方向垂直纸面向里．金属棒初始位于OO'处，与第一段磁场相距s=6.0m．（g取10m/s²）

（1）若金属棒有向右的初速度v₀=3.0m/s，为使金属棒保持匀速直线运动一直向右穿过各磁场，需对金属棒施加一个水平向右的拉力，求金属棒进入磁场前拉力F₁的大小和进入磁场后拉力F₂的大小；
（2）在（1）问的情况下，求金属棒从OO′开始运动到刚离开第10段磁场过程中，拉力所做的功；
（3）若金属棒初速度为零，现对棒施以水平向右的恒定拉力F=4.0N，使棒穿过各段磁场，发现计算机显示出的电压随时间以固定的周期做周期性变化，图象如图2所示（从金属棒进入第一段磁场开始计时，图中虚线与时间轴平行）．求金属棒每穿过一个磁场过程中回路中产生的焦耳热，以及金属棒从第10段磁场穿出时的速度．

Answer 1

分析 （1）金属棒在进入磁场前，不受安培力作用，匀速运动时，拉力与摩擦力平衡；在进入磁场后，金属棒切割磁感线，产生感应电流，要保持匀速运动，拉力必须与摩擦力、安培力平衡．根据平衡条件和电磁感应知识，可求出拉力．
（2）利用功的公式，求出拉力做的总功．
（3）进入磁场前，拉力和摩擦力做功，根据动能定理，求出金属棒进入磁场时的速度．进入在磁场时，拉力、摩擦力和安培力做功，根据能量守恒定律求出焦耳热．由动能定理求解金属棒从第10段磁场穿出时的速度．

解答 解：（1）金属棒进入磁场前匀速运动，则有 F₁=f=μN=μmg ①
代入解得 F₁=2.0N ②
金属棒在磁场中运动时匀速运动，则有 F₂=f+F_安=f+BIL ③
又感应电流为 $I=\frac{E}{R+r}=\frac{{BL{v_0}}}{R+r}$ ④
联立得 ${F_2}=μmg+\frac{{{B^2}L{\;}^2{v_0}}}{R+r}$ ⑤
代入解得 F₂=4.0N ⑥
（2）在非磁场区域外力F₁所做的功为 W₁=F₁[s+（n-1）d]=μmg[s+（n-1）d]=48J ⑦
在磁场区域外力F₂所做的功为 ${W_2}={F_2}×nc=（{μmg+\frac{{{B^2}{L^2}{v_0}}}{R+r}}）=120J$  ⑧
在此过程拉力所做的总功W=W₁+W₂=168J  ⑨
（3）由电压的周期性分析知，进入每一段磁场的速度都相同，故在每一个周期中有△E_k=0，穿过每段磁场产生的电能E_电均相同，所以（F-μmg）（c+d）=E_电 ⑩
得Q=E_电=10J  （11）
进入每段磁场时的速度都相同，由动能定理得：$（F-μmg）s=\frac{1}{2}m{v_0}^2$  （12）
从每段磁场穿出的速度为v，根据动能定理得：$（F-μmg）c-W=\frac{1}{2}m{v^2}-\frac{1}{2}m{v_0}^2$ （13）
 W=E_电（14）
解得 v=4.0m/s（15）
答：
（1）金属棒进入磁场前拉力F₁的大小是2.0N，进入磁场后拉力F₂的大小是4.0N；
（2）金属棒从OO′开始运动到刚离开第10段磁场过程中，拉力所做的功为168J；
（3）金属棒每穿过一个磁场过程中回路中产生的焦耳热是10J，金属棒从第10段磁场穿出时的速度为4.0m/s．

点评 本题分析受力是基础，关键从能量转化和守恒角度来求解，解题时要注意抓住使棒进入各磁场的速度都相同，以及通过每段磁场时电路中发热量均相同的条件．