Question

如图所示，光滑水平面上，有一质量为M，长为L的长木板，它的左端有一质量为m的小物块（已知m＜M），物块与长木板之间的动摩擦因数为μ．开始时木板与小物块均靠在左边固定的竖直挡板处，以共同速度v₀向右运动，右边也有一同样固定的竖直挡板，且左右挡板之间的距离足够长．假设长木板与两挡板的碰撞时间极短，碰撞前后速度反向，速率不变．
（1）试求物块不从长木板上滑下板长L应满足的条件．（用上述已知字母表达）
（2）若第一问条件满足，且M=2kg，m=1kg，v₀=3m/s，μ=0.5．试计算整个过程中小物块在长木板上滑行的总路程以及长木板在第三次与挡板碰撞前系统损失的机械能．

Answer 1

分析：（1）木板第一次与右侧固定板相撞后，木板反弹，块与板相对运动，最后一起向左运动，然后板与左侧固定板相撞块与板的相对运动与第一次相反，所以物块不从木板上滑下木板长度不小于第一次相对位移即可．根据动量守恒和能量守恒列式即可求解；
（2）木板不断与竖直板碰撞，总动量不断减少，最后变为零．对前面两次碰撞运用动量守恒求出末速度，系统损失的机械能等于动能的减少量．

解答：解：（1）木板第一次与右侧固定板相撞后，木板反弹，块与板相对运动，最后一起向左运动，然后板与左侧固定板相撞块与板的相对运动与第一次相反，所以物块不从木板上滑下木板长度不小于第一次相对位移即可．
根据动量守恒：Mv₀-mv₀=（m+M）v₁
根据能量守恒：μmg△S=

1

2

(m+M)v02-

1

2

(m+M)v12
解得：△S=

(m+M)(v02-v12)

2μmg

 所以：L≥△S=

(m+M)(v02-v12)

2μmg

（2）木板不断与竖直板碰撞，总动量不断减少，最后变为零．
根据能量守恒：μmgS=

1

2

(m+M)v02
解得：S=

(m+M)v02

2μmg

=2.7m
第一次碰撞：根据动量守恒：Mv₀-mv₀=（m+M）v₁得：v₁=1m/s
第二次碰撞：根据动量守恒：Mv₁-mv₁=（m+M）v₂得：v2=

1

3

m/s
所以与板碰撞损失的机械能△EK=

1

2

(m+M)v02-

1

2

(m+M)v22=

40

3

J
答：（1）物块不从长木板上滑下板长L应满足的条件为：L≥△S=

(m+M)(v02-v12)

2μmg

；（2）整个过程中小物块在长木板上滑行的总路程以及长木板在第三次与挡板碰撞前系统损失的机械能为

40

3

J．

点评：在应用动量守恒和功能关系解题时，注意将复杂过程分解多个简单过程，注意状态的选取，化繁为简，然后根据动量守恒和功能关系列方程求解．