Question

自主招生附加题（本题不计入总分）
一只质量为3m的小鸟从地面以45度角，速率v发射，在最高点发生爆炸，变为三只质量为m的小鸟，爆炸之后瞬间三只小鸟速度均沿水平方向，且中间的一只小鸟速度和爆炸前没有区别．已知落地的时候，最近和最远的小鸟相距为d．（如果你没有玩过“愤怒的小鸟”，请你把所有“小鸟”都换成“质点”）
（1）求爆炸至少使得小鸟们动能增加了多少？
（2）把“爆炸之后瞬间三只小鸟速度均沿水平方向”的条件改为，爆炸之后空中三只小鸟水平方向速度相等，那么当中点的小鸟落地的时候，还在空中的小鸟距离地面有多高？

Answer 1

（1）最高点高度h=

vy2

2g

=

(vsin45°)2

2g

=

v2

4g

．
最高点的速度vx=vcos45°=

2

2

v．
根据平抛运动的规律知，最远和最近的小鸟的速度之差为

d

t

根据动量守恒定律知，三只小鸟水平方向上的速度之差相等，则相对速度为△v=

d

2t

下落时间t=

2 v

2g

则动能的增加量为△Ek=

1

2

mvx2+

1

2

m(vx+△v)2+

1

2

m(v-△v)2-

1

2

3mvx2
解得△Ek=

md2g2

2v2

．
（2）上下两只鸟相对中间鸟的速度还是△v
所以高度为h′=t?△v=

d

2

．
答：（1）爆炸至少使得小鸟们动能增加了△Ek=

md2g2

2v2

．
（2）当中点的小鸟落地的时候，还在空中的小鸟距离地面有

d

2

．