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如图所示,半径为R的1/4光滑圆弧轨道最低点D与水平面相切,在D点右侧L0=4R处用长为R的细绳将质量为m的小球B(可视为质点)悬挂于O点,小球B的下端恰好与水平面接触,质量为m的小球A(可视为质点)自圆弧轨道C的正上方H高处由静止释放,恰好从圆弧轨道的C点切入圆弧轨道,已知小球A与水平面间的动摩擦因数μ=0.5,细绳的最大张力Fm=7mg,重力加速度为g,试求:(1)若H=R,小球A到达圆弧轨道最低点D时所受轨道的支持力;
(2)试讨论H在什么范围内,小球A与B发生弹性碰撞后细绳始终处于拉直状态.
(1)设小球A运动到圆弧轨道最低点D时速度为v0
则由机械能守恒定律有:
1
2
mv02=mg(H+R) ①
圆弧轨道最低点,由牛顿第二定律可得:N-mg=m
v20
R

解得:N=5mg ③;
(2)设A与B碰前速度为vA,碰后A的速度为vA′,B的速度为vB
A与B碰撞过程,由动量守恒定律得:mvA=mvA′+mvB
由机械能守恒定律得:
1
2
mvA2=
1
2
mvA2+
1
2
mvB2 ⑤,
A在水平面上滑行过程,由动能定理得:-μmgL0=
1
2
mvA2-
1
2
mv02
A、若碰后B能在竖直平面内做完整的圆周运动,则细绳始终处于拉直状态,
设小球B在最高处速度为vB′,则在最高处有:mg≤m
v′2B
R

小球B从最低点到最高点:
1
2
mvB2=
1
2
mvB2+mg?2R ⑧,
小球B在最低点时细绳受力最大,Fm-mg≥m
v2B
R

联立①④⑤⑥⑦⑧⑨解得:3.5R≤H≤4R ⑩,
B、若A与B碰后B摆动的最大高度小于R,则细绳始终处于拉直状态,则
根据机械能守恒得:
1
2
mvB2≤mgR (11),
要保证A与B能发生碰撞,vA>0,(12)
联立①④⑤⑥(11)(12)解得:R<H≤2R;
答:(1)若H=R,小球A到达圆弧轨道最低点D时所受轨道的支持力为5mg;
(2)当3.5R≤H≤4R或R<H≤2R时,小球A与B发生弹性碰撞后细绳始终处于拉直状态.
练习册系列答案
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1
4
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自主招生附加题(本题不计入总分)
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(1)求爆炸至少使得小鸟们动能增加了多少?
(2)把“爆炸之后瞬间三只小鸟速度均沿水平方向”的条件改为,爆炸之后空中三只小鸟水平方向速度相等,那么当中点的小鸟落地的时候,还在空中的小鸟距离地面有多高?

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2
3
EK转化为电势能.金属块继续运动到某点C(图中未标出)时的动能和A点时的动能相同,则金属块从A开始运动到C整个过程中经过的总路程为(  )
A.1.5LB.2LC.3LD.4L

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A.C点左侧B.C点C.C点右侧D.无法确定

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1
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A.
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?mgR
B.
1
2
mgR
C.mgRD.(1-μ)mgR

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