Question

2．一湖面上有一伸向水面的混凝土观景台，如图所示是截面图，观景台下表面恰好和水面相平，A为观景台右侧面在湖底的投影，水深h=4m．在距观景台右侧面x=4m处有一可沿竖直方向移动的单色点光源S，现该光源从距水面高3m处向下移动到接近水面的过程中，观景台水下被照亮的最远距离为AC，最近距离为AB，若AB=3m，求：
（ⅰ）水的折射率n；
（ⅱ）光能照亮的最远距离AC（计算结果可以保留根号）．

Answer 1

分析 （i）据题，观景台水下被照亮的最近距离为AB，光线在水面发生了折射，由数学知识求入射角与折射角的正弦值，即可求得折射率．
（ii）点光源S接近水面时，入射角为90°，光能照亮的距离最远，由折射定律求出折射角，即可由几何知识求解最远距离AC．

解答 解：（i）点光源S在距水面高3m处发出的光在观景台右侧面与水面交接处折射到水里时，被照亮的距离为最近距离AB，则：
由于$n=\frac{sini}{sinr}$
所以，水的折射率 $n=\frac{{\frac{x}{{\sqrt{{3^2}+{x^2}}}}}}{{\frac{AB}{{\sqrt{A{B^2}+{h^2}}}}}}=\frac{4}{3}$
（ii）点光源S接近水面时，光在观景台右侧面与水面交接处掠射到水里时，被照亮的距离为最远距离AC，此时，入射角为90°，折射角为临界角C
则：$n=\frac{{sin{{90}°}}}{sinC}=\frac{{\sqrt{A{C^2}+{h^2}}}}{AC}$=$\frac{4}{3}$
可得 sinC=$\frac{3}{4}$
由数学知识得 tanC=$\frac{sinC}{cosC}$=$\frac{sinC}{\sqrt{1-si{n}^{2}C}}$=$\frac{3\sqrt{7}}{7}$
解得：AC=htanC=$\frac{12}{7}\sqrt{7}$m≈4.5m                         
答：
（ⅰ）水的折射率n为$\frac{4}{3}$；
（ⅱ）光能照亮的最远距离AC为4.5m．

点评 本题以折射率和全反射为命题背景考查学生的推理能力和分析综合能力，关键能运用数学知识求解入射角和折射角的正弦值，知道入射角最大时折射角也最大．