Question

16．如图所示，在光滑的水平面上固定有左、右两竖直挡板，挡板间距离足够长，有一质量为M，长为L的长木板靠在左侧挡板处，另有一质量为m的小物块（可视为质点），放置在长木板的左端，已知小物块与长木板间的动摩擦因数为μ，且M＞m．现使小物块和长木板以共同速度v₀向右运动，设长木板与左、右挡板的碰撞中无机械能损失．试求：
（1）将要发生第二次碰撞时，若小物块仍未从长木板上落下，则它此时距长木板左端多远？
（2）为使小物块不从长木板上落下，板长L应满足什么条件？
（3）若满足（2）中条件，且M=2kg，m=1kg，v₀=9m/s，试计算整个系统在刚发生第四次碰撞前损失的机械能．

Answer 1

分析 （1）选取正方向，运用动量守恒来确定共同运动的速度，根据能量守恒定律列出等式求解；
（2）m相对M向右滑动，以后M与左挡板碰撞，碰后m相对于M向左滑动，直到达到共同速度，根据动量守恒定律和能量守恒定律列出等式求解；
（3）根据能量守恒定律得求出第四次碰撞前损失的机械能．

解答 解：（1）第一次与右挡板碰后到达共同速度v₁的过程中，对m、M组成的系统，选定水平向左为正方向．由动量守恒可得：
（M-m）v₀=（M+m）v₁…①
由能量守恒可得：μmgL₁=$\frac{1}{2}$（M+m）v₀²-$\frac{1}{2}$（M+m）v₁²…②
由①②解得：L₁=$\frac{2M{v}_{0}^{2}}{（M+m）μg}$；
（2）上述过程中，m相对M向右滑动，且共同速度v₁向左．
以后，M与左挡板碰撞，碰后m相对M向左滑动，直到重新达到共同速度v₂，
以向右为正方向，由动量守恒动量得：（M-m）v₁=（M+m）v₂…③
由能量守恒可得：μmgL₂=$\frac{1}{2}$（M+m）v₁²-$\frac{1}{2}$（M+m）v₂²…④
由③④解得：L₂=$\frac{2M{v}_{1}^{2}}{（M+m）μg}$，显然L₂＜L₁，同理：L₃＜L₂，…
因此，只有第一次碰后m未从M上掉下，以后就不可能掉下，则长木板的长度L应满足：L≥$\frac{2M{v}_{0}^{2}}{（M+m）μg}$；
（3）根据能量守恒可得，到刚发生第四次碰撞前，系统损失的机械能，由机械能守恒定律得：
△E=μmg（L₁+L₂+L₃）=μmg×$\frac{2M}{（M+m）μg}$（v₀²+v₁²+v₂²）=$\frac{2Mm}{M+m}$（v₀²+v₁²+v₂²）…⑤
又v₁=$\frac{M-m}{M+m}$v₀…⑥
v₂=（$\frac{M-m}{M+m}$）²v₀ …⑦
解得：△E=$\frac{364}{3}$J≈121.3J；
答：（1）将要发生第二次碰撞时，若小物块仍未从长木板上落下，则它此时距长木板左端距离为$\frac{2M{v}_{0}^{2}}{（M+m）μg}$；
（2）为使小物块不从长木板上落下，板长L应满足的条件是L≥$\frac{2M{v}_{0}^{2}}{（M+m）μg}$；
（3）整个系统在刚发生第四次碰撞前损失的机械能是121.3J．

点评 本题考查动量守恒定律和能量守恒定律的应用，并多次在不同过程中使用，让同学们更能熟练的掌握规律．综合性较强，对学生的能力要求较高，要加强这方面的训练．