Question

8．滑雪运动是把滑雪板装在靴底上在雪地上进行速度、跳跃和滑降的竞赛运动．滑雪运动中当滑雪板相对雪地速度较大时，会把雪内的空气逼出来，在滑雪板与雪地间形成一个暂时的“气垫”，从而大大减小雪地对滑雪板的摩擦．然而当滑雪板相对雪地速度较小时，与雪地接触时间超过某一值就会陷下去，使得它们间的摩擦力增大．假设滑雪者的速度超过8m/s时，滑雪板与雪地间的动摩擦因数就会由μ₁=0.5变为μ₂=0.25．一滑雪者从倾角θ=37°的坡顶A处由静止开始自由下滑，滑至坡底B（B处为一光滑小圆弧）后又滑上一段水平地面，最后停在C处，如图所示．不计空气阻力，已知坡长L=24m，取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
（1）滑雪者从静止开始到动摩擦因数发生变化所经历的时间；
（2）滑雪者到达B处时的速度大小；
（3）若滑雪板与水平地面间的动摩擦因数恒为μ₃=0.4，求滑雪者在水平地面上运动的最大距离．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律求出滑雪者在斜坡上从静止开始加速至速度8m/s期间的加速度，再根据速度时间公式求出运动的时间；
（2）根据牛顿第二定律求出速度大于8m/s时的加速度，从而得出加速度变化后的位移，根据匀变速直线运动的速度位移公式求出滑雪者到达B处的速度；
（3）由牛顿第二定律与运动学公式可以求出运动距离．

解答 解：（1）由牛顿第二定律得：mgsinθ-μ₁mgcosθ=ma₁，
解得：a₁=gsinθ-μ₁gcosθ=10m/s²×0.6-0.5×10m/s²×0.8=2m/s²，
由v=a₁t得，滑行时间：
t=$\frac{v}{{a}_{1}}$=$\frac{8m/s}{2m/{s}^{2}}$=4s，
x₁=$\frac{1}{2}$a₁t²=$\frac{1}{2}$×2m/s²×（4s）²=16m＜24m；
（2）由静止到动摩擦因素变化的位移：
x₁=$\frac{1}{2}$a₁t²=$\frac{1}{2}$×2m/s²×（4s）²=16m＜24m，
动摩擦因数变化后，由牛顿第二定律得：mgsinθ-μ₂mgcosθ=ma₂，
解得：a₂=gsinθ-μ₂gcosθ=10m/s²×0.6-0.25×10m/s²×0.8=4m/s²，
x₂=L-x₁=24m-16m=8m，
由${v}_{B}^{2}$-v²=2a₂x²得，达到B处速度：
v_B=$\sqrt{{v}^{2}+2{a}_{2}{x}_{2}}$═$\sqrt{（8m/s）^{2}+2×4m/{s}^{2}×8m}$=8$\sqrt{2}$m/s；
（3）在水平雪地上做匀减速直线运动，
由牛顿第二定律得：μ₃mg=ma₃，
做匀减速运动的加速度大小：a₃=μ₃g=0.4×10m/s²=4m/s²，
根据速度位移关系可知，滑雪者通过的位移：
x₃=$\frac{0-{v}_{B}^{2}}{-2{a}_{3}}$=$\frac{0-（8\sqrt{2}{m/s）}^{2}}{-2×4m/{s}^{2}}$=16m，
答：（1）滑雪者从静止开始到动摩擦因数发生变化所经历的时间为4s；
（2）滑雪者到达B处时的速度大小为8$\sqrt{2}$m/s；
（3）滑雪者在水平雪地上运动的最大距为16m．

点评 本题综合运用了牛顿第二定律、动能定理等规律，关键理清滑雪者的运动过程，正确地受力分析，运用牛顿定律或动能定理解题．