Question

8．如图所示，水平面MN的右端N与表面粗糙的水平传送带理想连接，传送带水平部分长L=5.75m，传送带与另一水平地面PQ的高度差为h=5m，传送带以恒定的速度v=6m/s沿顺时针方向匀速转动．在水平面MN上的a点有一物块B，通过长为l=0.4m的细绳悬挂于O点，此时B刚好与地面接触，且a点左侧是粗糙的，而右侧是光滑的．现让另一物块A从距B s₀=2.75m处以v₀=6m/s的初速度向B运动，并与B发生弹性碰撞．已知A与所有粗糙部分间的动摩擦因数均为μ=0.2，物块A、B的质量m_A=m_B=1kg，A、B均视为质点，不计空气阻力，重力加速度为g=10m/s²．求：

（1）A与B第一次相碰后物块B的速度v_B；
（2）B运动到最高点时绳中的拉力F_T；
（3）A在传送带上运动的时间t；
（4）A做平抛运动的水平位移s．

Answer 1

分析 （1）根据动能定律和动量守恒列方程组求解；
（2）根据动能定理和牛顿第二定律列式求解；
（3）A与B再次弹性碰撞，相碰后A的速度v_A=5m/s，先根据牛顿运动定律求解在传送带加速度，根据匀变速直线运动规律求解时间；
（4）根据平抛运动规律求解时间，根据x=vt求解水平位移．

解答 解：（1）A与B碰前速度设为v₁
动能定理可知
 $-μ{m_A}g{s_0}=\frac{1}{2}{m_A}{v_1}^2-\frac{1}{2}{m_A}{v_0}^2$①
由弹性碰撞
${m_A}v_1^{\;}={m_A}v_A^{\;}+{m_B}v_B^{\;}$②
$\frac{1}{2}{m_A}v_1^2=\frac{1}{2}{m_A}v_A^2+\frac{1}{2}{m_B}v_B^2$③
由①②②联立解得相碰后B的速度v_B=5m/s
（2）B运动到最高点速度设为$v_B^'$
动能定理可知 $-{m_B}g2l=\frac{1}{2}{m_B}{v_B}{^'^2}-\frac{1}{2}{m_B}{v_B}^2$$v_B^'$=3m/s
受力分析可知${F_T}+{m_B}g={m_B}\frac{{{v_B}{{^'}^2}}}{l}$F_T=12.5N
（3）A与B再次弹性碰撞，相碰后A的速度v_A=5m/s
A在传送带上先加速a=μg=2 m/s²
加速时间t₁=$\frac{{v-{v_A}}}{a}$=0.5s
加速位移${S_1}=\frac{{{v^2}-{v_A}^2}}{2a}$=2.75m
再匀速时间${t_2}=\frac{{L-{S_1}}}{v}$=0.5s  故在传送带上运动的时间t=1s
（4）由下落高度$h=\frac{1}{2}g{t^2}$
知平抛运动时间为t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$=$\sqrt{\frac{2×5}{10}}$=1s
A平抛水平初速度为v=6m/s  
故水平位移s=vt=6×1=6m
答：（1）A与B第一次相碰后物块B的速度v_B为5m/s；
（2）B运动到最高点时绳中的拉力F_T为12，5N；
（3）A在传送带上运动的时间t为1s；
（4）A做平抛运动的水平位移s为6m．

点评 此题考查动量定理、动能定理以及牛顿运动定律，知物体的运动一般有直线运动、圆周运动和一般的曲线运动；直线运动一般由动力学公式求解，圆周运动合力充当向心力，一般的曲线运动一般由动能定理求解．