Question

2．如图所示为利用静电除烟尘的通道示意图，前后两面为绝缘板，上、下两面为分别与高压电源的负极和正极相连的金属板，在上、下两面间产生的电场可设为匀强电场，通道长L=1m，进烟尘口的截面积为边长d=0.5m的正方形，分布均匀的带负电烟尘颗粒均以水平速度v₀=2m/s连续进入通道，碰到下金属板后其所带电荷会被中和并被收集，但不影响电场分布．已知每立方米体积内颗粒数n=10¹³个，每个烟尘颗粒带电量为q=-1.0×10^-17C，质量为m=2.0×10^-15kg，忽略颗粒的重力，颗粒之间的相互作用力和空气阻力．
（1）高压电源电压U₀=300V时，求被除去的烟尘颗粒数与总进入烟尘颗粒数的比值
（2）若烟尘颗粒恰好能全部被除去，求高压电压U₁
（3）装置在（2）中电压U₁作用下稳定工作时，1s内进入的烟尘颗粒从刚进入通道到被全部除去的过程中，求电场对这些烟尘颗粒所做的总功．

Answer 1

分析 （1）对颗粒在金属板间的运动进行受力分析和运动过程的分析，可知颗粒做类平抛运动，根据题干提供的条件，即可得知粒子进入电场时，能打到下金属板的粒子距离下金属板的距离．由此即可得知被除去的烟尘颗粒数与总进入烟尘颗粒数的比值．
（2）若烟尘颗粒恰好能全部被除去，即为紧贴上金属板射入的颗粒恰能打到下金属板上，利用类平抛运动的知识结合牛顿运动定律即可得知最高电压．
（3）先计算出1s内进入通道的颗粒数量，利用平均的方法结合电场力做功的公式即可求得电场对这些烟尘颗粒所做的总功．

解答 解：（1）颗粒在运动中做类平抛运动，由牛顿第二定律有：$\frac{q{U}_{0}}{d}$=ma
在水平方向上有：L=v₀t
在竖直方向上有：y=$\frac{1}{2}$at²
解得：y=0.375m
即为距离下金属板的距离小于等于0.375m内的颗粒将打到下金属板上，被除去的烟尘颗粒数与总进入烟尘颗粒数的比值为：
η=$\frac{y}{d}$=$\frac{3}{4}$
（2）若烟尘颗粒恰好能全部被除去，紧贴上金属板射入的颗粒恰能打到下金属板上，颗粒做平抛运，在竖直方向上有：
d=$\frac{1}{2}$a₁t²
$\frac{q{U}_{1}}{d}$=ma₁
联立解得：U=400V
（3）1s内颗粒的总个数为：N=nd²v₀t₁
电场力对每个颗粒所做的功与其到下金属板的偏移量y成正比，平均值等于电场距离下金属板$\frac{d}{2}$处的颗粒所做的功．
所以有：W=N$\frac{q{U}_{1}}{d}•\frac{d}{2}$=0.01J
答：（1）高压电源电压U₀=300V时，被除去的烟尘颗粒数与总进入烟尘颗粒数的比值为$\frac{3}{4}$
（2）若烟尘颗粒恰好能全部被除去，高压电压U₁为400V
（3）装置在（2）中电压U₁作用下稳定工作时，1s内进入的烟尘颗粒从刚进入通道到被全部除去的过程中，电场对这些烟尘颗粒所做的总功为0.01J．

点评 研究带电粒子的偏转实际是牛顿运动定律、受力分析、运动合成和分解的综合应用，分析过程中应把握哪些量是变化的、带电粒子是否飞出电场、偏转方向如何．
研究带电粒子在电场中的加速和偏转时是否考虑重力作用，是困惑同学们的问题之一．这主要是因为有时带电粒子受到的重力远小于电场力，即mg远远小于qE的缘故．但是，在另一类问题中，如讨论带电小球在电场中的平衡问题，这种情况下重力不可忽略，必须考虑．所以，是否考虑带电粒子的重力要依据具体情况而定．
（1）基本粒子：如电子、质子对粒子、离子等，除有说明或明确暗示外，一般不考虑重力（但并非忽略质量）．
（2）带电颗粒：如液滴、油滴、尘埃、小球等，除有说明或明确暗示外，一般都不能忽略重力．