Question

4．2014年11月1日，嫦娥五号再入返回飞行试验返回器在内蒙古四子王旗预定区域顺利着陆，这标志着中国探月工程三期再入返回飞行试验获得圆满成功．若该试验器在地球表面的重力为G₁，在月球表面的重力为G₂，已知地球半径为R₁，月球半径R₂，地球表面处的重力加速度为g，则下列说法中正确的是（　　）

• A． 月球表面处的重力加速度为$\frac{{G}_{1}g}{{G}_{2}}$
• B． 月球质量与地球质量之比为$\frac{{G}_{2}{{R}_{2}}^{2}}{{G}_{1}{{R}_{1}}^{2}}$
• C． 该试验器在靠近月球表面轨道上做匀速圆周运动的周期为T=2π$\sqrt{\frac{{G}_{1}{R}_{2}}{{G}_{2}{R}_{1}}}$
• D． 月球的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比为$\sqrt{\frac{{G}_{2}{R}_{2}}{{G}_{1}{R}_{1}}}$

Answer 1

分析 卫星在地球表面的重力为G₁，地球表面处的重力加速度为g，由G₁=mg，求出卫星的质量，再G₂=mg_月求出g_月．根据g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$．卫星在距月球表面轨道上做匀速圆周运动时，由月球的万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律求出卫星的周期．

解答 解：A、根据地球表面万有引力等于重力得
G₁=mg=$\frac{GMm}{{{R}_{1}}^{2}}$  ①
根据月球表面万有引力等于重力得
G₂=mg′=$\frac{GM′m}{{{R}_{2}}^{2}}$  ②
卫星在地球表面的重力为G₁，到达月球表面附近绕月飞行时受月球的引力为G₂，
所以月球表面重力加速度g′=$\frac{{G}_{2}}{{G}_{1}}g$．故A错误；
B、联立①②得：$\frac{M′}{M}=\frac{{G}_{2}{{R}_{2}}^{2}}{{G}_{1}{{R}_{1}}^{2}}$．故B正确；
C、试验器到达月球表面附近绕月球做圆周运动，根据万有引力提供向心力得
$\frac{GM′m}{{{R}_{2}}^{2}}$=$\frac{{{m4π}^{2}R}_{2}}{{T}^{2}}$  ③
联立以上公式解得：T=2π$\sqrt{\frac{{G}_{1}{R}_{2}}{{G}_{2}g}}$，故C错误；
D、试验器到达月球表面附近绕月球做圆周运动，根据万有引力提供向心力得
$\frac{GM′m}{{{R}_{2}}^{2}}$=$\frac{m{v}_{2}^{2}}{{R}_{2}}$   ④
在地球表面：$\frac{GMm}{{{R}_{1}}^{2}}$=$\frac{m{v}_{1}^{2}}{{R}_{1}}$  ⑤
联立得：$\frac{{v}_{2}}{{v}_{1}}=\sqrt{\frac{{G}_{2}{R}_{2}}{{G}_{1}{R}_{1}}}$．故D正确．
故选：BD．

点评 万有引力在天体中的运动，主要是万有引力充当向心力，注意向心力的表达有多种形式，应灵活选择．