Question

15．如图甲所示，两平行金属板间接有如图乙所示的随时间t变化的电压U_AB，两板间电场可看做是均匀的，且两板外无电场，极板长L=0.2m，板间距离d=0.2m，在金属板右侧有一边界为MN的区域足够大的匀强磁场，MN与两板间中线OO′垂直，磁感应强度B=5×10^-3T，方向垂直纸面向里．现有带正电的粒子流沿两板中线OO′连续射入电场中，已知每个粒子的速度v_o=10⁵m/s，比荷$\frac{q}{m}$=10⁸C/kg，重力忽略不计，每个粒子通过电场区域的时间极短，此极短时间内电场可视作是恒定不变的．求：
（1）在t=0.1s时刻射入电场的带电粒子，进入磁场时在MN上的入射点和出磁场时在MN上的出射点间的距离为多少；
（2）带电粒子射出电场时的最大速度；
（3）在t=0.25s时刻从电场射出的带电粒子，在磁场中运动的时间．

Answer 1

分析 （1）在t=0．ls时刻射入电场的带电粒子，在电场中做匀速直线运动，进入磁场做圆周运动，垂直边界进入磁场，知运动半个圆周射出，在MN上射入点和射出点的距离为2R．
（2）带电粒子从极板的边缘射出电场时速度最大，根据带电粒子在磁场中做类平抛运动，根据沿电场方向上的匀加速直线运动，求出偏转的电压，根据动能定律求出射出电场的最大速度．
（3）在t=0.25s时偏转电压为100V，根据第二问解出的结论知，粒子贴着上边缘进入磁场，根据v=$\sqrt{2}{v}_{0}$，知垂直进入磁场时与磁场边界的夹角为$\frac{π}{4}$，射出磁场时与磁场边界的夹角也为$\frac{π}{4}$，故对应的圆心角为$\frac{1}{2}$π，根据t=$\frac{θ}{2π}$T求解时间．

解答 解：（1）在t=0.1s时刻射入电场的带电粒子，在极板间做匀速直线运动，以v₀垂直磁场边界垂直射入磁场，由qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$可得：
 R=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$=$\frac{1{0}^{5}}{1{0}^{8}×5×1{0}^{-3}}$m=0.2m
在MN上的入射点和出磁场时在MN上的出射点间的距离为：d=2R=0.4m
（2）设带电粒子从极板的边缘射出电场时的速度最大，对应的瞬时电压为u₀，则：
 $\frac{1}{2}d$=$\frac{1}{2}•\frac{{u}_{0}q}{dm}（\frac{L}{{v}_{0}}）^{2}$      
解得：u₀=100V
由动能定理得：$\frac{1}{2}m{v}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$+$\frac{1}{2}q{u}_{0}$  
射出的最大速度为：v=$\sqrt{2}{v}_{0}$=$\sqrt{2}×1{0}^{5}$m/s
（3）在t=0.25s时刻从电场射出的带电粒子，从极板的上边缘射出电场，垂直进入磁场时与磁场边界的夹角为$\frac{π}{4}$，射出磁场时与磁场边界的夹角也为$\frac{π}{4}$，故对应的圆周的圆心角为$\frac{π}{2}$，故在磁场中运动的时间为圆周运动周期的四分之一．
由qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，T=$\frac{2πR}{v}$ 
得周期为：T=$\frac{2πm}{qB}$，
得：t=$\frac{1}{4}T$=1.57×10^-5s
答：（1）在t=0.1s时刻射入电场的带电粒子，进入磁场时在MN上的入射点和出磁场时在MN上的出射点间的距离为0.4m；
（2）带电粒子射出电场时的最大速度是$\sqrt{2}$×10⁵m/s；
（3）在t=0.25s时刻从电场射出的带电粒子，在磁场中运动的时间是1.57×10^-5s．

点评 解决本题的关键理清粒子在电场中和磁场中的运动轨迹，结合运动学公式、牛顿第二定律和动能定理进行求解．