Question

19．一滑块（可视为质点）经水平轨道AB进入竖直平面内的粗糙的半圆弧形轨道BC．已知滑块的质量m=0.2kg，滑块经过A点时的速度v₀=7m/s，AB长x=4m，滑块与水平轨道间的动摩擦因素μ=0.3，圆弧轨道的半径R=0.4m，滑块恰好能通过C点，离开C点后做平抛运动．求：（重力加速度g=10m/s²）
（1）滑块刚刚滑上圆弧轨道时，对圆弧轨道上最低点B的压力大小；
（2）滑块在从B运动到C的过程中克服摩擦力所做的功；
（3）从C点做平抛运动到AB面，通过的水平位移．

Answer 1

分析 （1）滑块由A至B过程，只有摩擦力做功，可以由动能定理求出滑块滑到B点的速度．在B点，由重力和支持力的合力提供向心力，由牛顿第二定律求得轨道对滑块的支持力，再由牛顿第三定律得到滑块对轨道的压力；
（2）滑块通过C点时，由重力提供向心力，根据牛顿第二定律求得滑块通过C点的速度，再由B到C过程，运用动能定理求出克服摩擦力所做的功；
（3）滑块离开C点后做平抛运动，根据运动学公式求出水平位移．

解答 解：（1）滑块从A到B过程，只有摩擦力做功，由动能定理得：
-fx=$\frac{1}{2}$mv_B²-$\frac{1}{2}$mv₀²　
其中摩擦力为：f=μmg
联立上式，解得：v_B=5m/s
即滑块经过B点时速度的大小为5m/s．
滑块在圆弧上B点时，由轨道的支持力和重力的合力提供向心力，则有：
N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
解得：N=mg+m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$=14.5N
根据牛顿第三定律可得，滑块刚刚滑上圆弧轨道时，对圆弧轨道上最低点B的压力大小为14.5N．
（2）在C点，由重力提供向心力，根据牛顿第二定律得：
mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
可得 v_C=$\sqrt{gR}$=2m/s
滑块由B到C过程，运用动能定理得：
-2mgR-W_f=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
解得：W_f=0.5J
即滑块在从B运动到C的过程中克服摩擦力所做的功为0.5J．
（3）滑块离开C点后做平抛运动，则有：
x=v_Ct
2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
解得：x=0.8m
即从C点做平抛运动到AB面，通过的水平位移是0.8m．
答：（1）滑块刚刚滑上圆弧轨道时，对圆弧轨道上最低点B的压力大小为14.5N．
（2）滑块在从B运动到C的过程中克服摩擦力所做的功为0.5J．
（3）从C点做平抛运动到AB面，通过的水平位移是0.8m．

点评 本题中第一问也可以根据牛顿第二定律和运动学公式结合求解B点的速度，但用动能定理求解不用考虑加速度，过程明显简化；运用动能定理要注意过程的选择，动能定理比运动学公式适用范围更广，对于曲线运动同样适用．