Question

如图（a），长为L的光滑斜面AB与高台边缘光滑相接，BC为一竖直墙，将小球从斜面AB的顶端静止释放，小球到达斜面底端后恰能无能量损失地从高台边缘水平飞出．高台底部有另一足够长的斜面CD．调节斜面AB的倾角α与斜面CD的倾角β，使小球从斜面AB顶端静止释放后，恰能垂直击中斜面CD．不计空气阻力，重力加速度为g，α、β为锐角．求：

（1）小球在空中飞行时间t（用α、β和L表示）？

（2）某一研究小组取长为L=0.5m的斜面AB进行实验，实验中发现改变斜面AB的倾角α后，为了使从AB顶端静止释放的小球还能垂直击中斜面，只需对应地调整斜面CD的倾角β．多次实验并记录每次α与β的数值，由实验数据得出图（b）所示拟合直线．请问此坐标系的横轴表示什么？试求竖直墙BC的高度h（取g=10m/s2）？

（3）在第（2）问中，该研究小组发现，小球每次垂直打在CD上的落点与竖直墙BC的距离S随α和β的改变而不同．试求小球在CD上的落点离竖直墙的最大距离Sm？此时倾角α与β各为多大？

Answer 1

考点：

动能定理的应用；匀变速直线运动的位移与时间的关系．.

专题：

动能定理的应用专题．

分析：

（1）对AB过程由动能定理可求得小球的初速度，再由竖直方向的末速度可求得时间；

（2）由平抛运动的规律可求得对应的函数关系，并由斜率求得高度；

（3）根据（2）中求出的关系，由数学规律可求得最大距离．

解答：

解：（1）对AB段运用动能定理： mv02=mgLsinα

解得：v0=

t==

（2）设小球平抛过程中水平方向和竖直方向的位移分别为x，y

在空中水平距离x=v0t=2Lsinαcotβ

在空中竖直距离y===Lsinαcos2β

由，得

cot2β=，

得到关于与cot2β的关系式，对应图象横轴表示，对应图象横轴表示

斜率为，由图象可知斜率为2，故=2，h=1m；           

（3）由第（2）问中x=v0t=sinαcotβ和cot2β=，

x=

当sinα=时，Smax=，此时α=30°

对应β=arccot=35.3°  

答：（1）小球的飞行时间为；

（2）此坐标系的横轴表示；竖直墙BC的高度h为1m；

（3）小球在CD上的落点离竖直墙的最大距离Sm为；此时倾角α为30°β为35.3°．

点评：

本题考查平抛运动及动能定理的规律，难点在于数学知识的应用，要注意根据物理规律结合几何关系进行分析求解．