Question

13．一艘宇宙飞船飞近某一新发现的行星，并进入靠近该行星表面的圆形轨道做匀速圆周运动，绕行n圈，所用时间为t，着陆行星后，用天平测得一物体质量为m，用弹簧测力计测得其重力为F，（已知万有引力常量为G）：
（1）宇宙飞船做匀速圆周运动时的周期为$\frac{t}{n}$．
（2）该行星表面的重力加速度为$\frac{F}{m}$．
（3）该行星质量M=$\frac{{F}^{3}{t}^{4}}{16{π}^{4}G{n}^{4}{m}^{3}}$，用测量数据求该星球半径R=$\frac{F{t}^{2}}{4{π}^{2}{n}^{2}m}$．

Answer 1

分析 （1）宇宙飞船做匀速圆周运动，转动一圈的时间即为周期；
（2）根据F=mg列式求解重力加速度；
（3）在行星表面，根据万有引力定律列式；对飞船，根据万有引力等于向心力列式；然后联立求解．

解答 解：（1）飞船的周期：T=$\frac{t}{n}$；
（2）根据F=mg，有：g=$\frac{F}{m}$；
（3）在行星表面，有：F=$G\frac{Mm}{{R}^{2}}$，
对卫星，有：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m（\frac{2π}{T}）^{2}R$，
联立解得：R=$\frac{F{t}^{2}}{4{π}^{2}{n}^{2}m}$，M=$\frac{{F}^{3}{t}^{4}}{16{π}^{4}G{n}^{4}{m}^{3}}$；
故答案为：（1）$\frac{t}{n}$；（2）$\frac{F}{m}$；（3）$\frac{{F}^{3}{t}^{4}}{16{π}^{4}G{n}^{4}{m}^{3}}$，$\frac{F{t}^{2}}{4{π}^{2}{n}^{2}m}$．

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力，以及万有引力等于重力这两大理论，要灵活选取向心力公式的形式．