Question

5．质量M=1000kg的汽车通过圆形拱形桥时的速率恒定，拱形桥的半径R=10m．重力加速度g=10m/s²，试求：
（1）若汽车在最高点对拱形桥的压力为车重的一半时，汽车的速率v₁；
（2）若汽车以v₂=5m/s的速率过桥，在最高点时对桥面的压力多大？
（3）要使汽车始终不脱离桥面，则汽车在拱形桥的最高点的速度v₃不能超过多大？

Answer 1

分析 （1）在拱形桥的最高点，汽车靠重力和支持力的合力提供向心力，结合牛顿第二定律求出最高点汽车的速率．
（2）根据牛顿第二定律求出桥面对汽车的支持力，再根据牛顿第三定律求汽车对桥面的压力．
（3）要使汽车始终不脱离桥面，汽车对桥顶的压力不能零，至少靠重力提供向心力，根据牛顿第二定律求出v₃．

解答 解：（1）根据牛顿第二定律得：
mg-N₁=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
又N₁=$\frac{1}{2}$mg
解得：v₁=$\sqrt{\frac{1}{2}gR}$=$\sqrt{\frac{1}{2}×10×10}$=5$\sqrt{2}$m/s
（2）根据牛顿第二定律得：
mg-N₂=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$
得：N₂=m（g-$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$）=7500N
根据牛顿第三定律得汽车对桥面的压力大小为7500N．
（3）汽车刚要脱离桥面时，有：mg=m$\frac{{v}_{3}^{2}}{R}$
可得：v₃=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{10×10}$=10m/s
答：（1）若汽车在最高点对拱形桥的压力为车重的一半时，汽车的速率v₁是5$\sqrt{2}$m/s．
（2）若汽车以v₂=5m/s的速率过桥，在最高点时对桥面的压力是7500N．
（3）要使汽车始终不脱离桥面，则汽车在拱形桥的最高点的速度v₃不能超过10m/s．

点评 解决本题的关键知道汽车在拱桥顶做圆周运动向心力的来源，结合牛顿第二定律进行求解，列表达式时，注意合力指向圆心．