Question

15．如图所示，有一类似过山车的建议轨道装置，它由弹射装置，水平轨道和竖直平面内的两个圆形轨道组成，小球被弹射后获得一个速度，依次经过水平轨道AB、第一圆轨道、水平轨道BC后，进入第二圆轨道完成一系列活动，B、C分别是两个圆形轨道的最低点，第一个圆轨道的半径R₁=2.0m，一个质量m=1.0kg的小球（视为质点）被弹射后获得v₀=12.0m/s的速度，从水平轨道左侧A点沿轨道向右运动，A、B间距离L₁=6.0m，B、C间距L₂=12.0m，小球与水平轨道间的动摩擦因数μ=0.2，圆形轨道光滑，空气阻力忽略不计，g=10m/s²
求：（1）小球第一次通过B点时，第一圆轨道对小球支持力F的大小；
（2）如果要使小球不脱离第二圆轨道，且两圆形轨道不相互重叠，第二个圆轨道半径R₂应满足的条件．

Answer 1

分析 （1）从A到B的过程，运用动能定理求得小球第一次通过B点时的速度．在B点，由重力和轨道支持力的合力提供向心力，由牛顿第二定律求第一圆轨道对小球支持力F的大小；
（2）如果要使小球不脱离轨道，有两种情况，一种是小球通过第二轨道的最高点，根据第二轨道最高点的最小速度，根据动能定理求出第二圆轨道的半径范围．另一种情况是小球不越过第二圆轨道的四分之一圆弧，根据动能定理求出最小半径，再根据几何关系，抓住两轨道不能相切，求出最大半径．即可得到R₂应满足的条件．

解答 解：（1）从A到B的过程，由动能定理得：
-μmgL₁=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
在B点，由重力和轨道支持力的合力提供向心力，由牛顿第二定律得：
F-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{{R}_{1}}$
联立解得：F=70N
（2）小球不脱离第二圆轨道，有两种情况：
Ⅰ：小球能通过第二圆轨道的最高点，有：mg≤m$\frac{{v}^{2}}{{R}_{1}}$
从A到第二圆轨道的最高点的过程中，由动能定理有：-μmg（L₁+L₂）-2mgR₂=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$mv₀²；
代入数据解得：R₂≤0.8m．
Ⅱ：当小球上升高度不能超过第二圆轨道的半径时，从A运动到速度为零时，由动能定理有：
-μmg（L₁+L₂）-mgR₂=0-$\frac{1}{2}$mv₀²；
代入数据解得：R₂=3.6m．
又因为两轨道不能相互重叠，则两圆相切时，有：
（R₁+R₂）²-（R₂-R₁）²=L₂²，
代入数据解得：R₂=18m．
综合Ⅰ、Ⅱ可得，小球不脱离第二圆轨道应满足的条件是：
0≤R₂≤0.8m或3.6m≤R₂≤18m．
答：（1）小球第一次通过B点时，第一圆轨道对小球支持力F的大小是70N；
（2）如果要使小球不脱离第二圆轨道，且两圆形轨道不相互重叠，第二个圆轨道半径R₂应满足的条件是0≤R₂≤0.8m或3.6m≤R₂≤18m．

点评 选取研究过程，运用动能定理解题．动能定理的优点在于适用任何运动包括曲线运动．知道小球恰能通过圆形轨道的含义以及要使小球不能脱离轨道的含义．